已知： 经过点 ， ．

(1) 求函数解析式；

(2) 平移抛物线使得新顶点为 （ m ＞ 0 ）．

① 倘若 ，且在 的右侧，两抛物线都上升，求 的取值范围；

② 在原抛物线上，新抛物线与 轴交于 ， 时，求 点坐标．

答案

(1)

(2)① k ≥2

② P 的坐标为（ 2 ， 3 ）

【分析】（ 1 ）把 ， 代入 ，求解即可；

（ 2 ） ① 由 ，得顶点坐标为 (0 ， -3) ，即点 B 是原抛物线的顶点，由平移得抛物线向右平移了 m 个单位，根据 ，求得 m =2 ，在 的右侧，两抛物线都上升，根据抛物线的性质即可求出 k 取值范围；

② 把 P （ m ， n ）代入 ，得 n = ，则 P （ m ， ），从而求得新抛物线解析式为： y = ( x - m ) ² + n = x ² - mx + m ² -3 ，则 Q (0 ， m ² -3) ，从而可求得 BQ = m ² ， BP ² = ， PQ ² = ，即可得出 BP = PQ ，过点 P 作 PC ⊥ y 轴于 C ，则 PC =| m | ，根据等腰三角形的性质可得 BC = BQ = m ² ， ∠ BPC = ∠ BPQ = ×120°=60° ，再根据 tan∠ BPC = tan 60°= ，即可求出 m 值，从而求出点 P 坐标．

【详解】（ 1 ）解：把 ， 代入 ，得

，解得： ，

∴ 函数解析式为： ；

（ 2 ）解： ①∵ ，

∴ 顶点坐标为 (0 ， -3) ，即点 B 是原抛物线的顶点，

∵ 平移抛物线使得新顶点为 （ m ＞ 0 ）．

∴ 抛物线向右平移了 m 个单位，

∴ ，

∴ m =2 ，

∴ 平移抛物线对称轴为直线 x =2 ，开口向上，

∵ 在 的右侧，两抛物线都上升，

又 ∵ 原抛物线对称轴为 y 轴，开口向上，

∴ k ≥2 ，

② 把 P （ m ， n ）代入 ，得 n = ，

∴ P （ m ， ）

根据题意，得新抛物线解析式为： y = ( x - m ) ² + n = x ² - mx + m ² -3 ，

∴ Q (0 ， m ² -3) ，

∵ B （ 0 ， -3 ），

∴ BQ = m ² ， BP ² = ，

PQ ² = ，

∴ BP = PQ ，

如图，过点 P 作 PC ⊥ y 轴于 C ，则 PC =| m | ，

∵ BP = PQ ， PC ⊥ BQ ，

∴ BC = BQ = m ² ， ∠ BPC = ∠ BPQ = ×120°=60° ，

∴tan∠ BPC = tan 60°= ，

解得： m =±2 （舍去负数），

∴ n = =3 ，

故 P 的坐标为（ 2 ， 3 ） .

【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线的平移，抛物线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，本题属抛物线综合题目，属中考常考试题目，难度一般．