如图，抛物线 交 y 轴于点 ，并经过点 ，过点 A 作 轴交抛物线于点 B ，抛物线的对称轴为直线 ， D 点的坐标为 ，连接 ， ， . 点 E 从 A 点出发，以每秒 个单位长度的速度沿着射线 运动，设点 E 的运动时间为 m 秒，过点 E 作 于 F ，以 为对角线作正方形 ．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 当点 G 随着 E 点运动到达 上时，求此时 m 的值和点 G 的坐标；

(3) 在运动的过程中，是否存在以 B ， G ， C 和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点 G 的坐标，如果不存在，请说明理由．

答案

(1)

(2) ，

(3) 或（ 3 ， -3 ） 或

【分析】（ 1 ）利用待定系数法求解析式即可；

（ 2 ）求出直线 BC 解析式，通过 △ EGF 为等腰直角三角形表示出 G 点坐标，将 G 点代入 BC 解析式即可求得 m 的值，从而求得 G 点坐标；

（ 3 ）将矩形转化为直角三角形，当 △ BGC 是直角三角形时，当 △ BCG 为直角三角形时，当 △ CBG 为直角三角形时，分情况讨论分别列出等式求得 m 的值，即可求得 G 点坐标．

【详解】（ 1 ）将点 A （ 0 ， -4 ）、 C （ 6 ， 0 ）代入解析式 中，以及直线对称轴 ，可得 ，

解得 ，

∴ 抛物线的解析式为 ；

（ 2 ） ∵ A （ 0 ， -4 ）， D ，

∴△ AOD 为等腰直角三角形，

∵ 轴交抛物线于点 B ，

∴ B （ 4 ， -4 ），

设直线 BC 解析式为 y = kx + b′ ，

将 B （ 4 ， -4 ）， C （ 6 ， 0 ）代入解析式得，

，解得 ，

∴ 直线 BC 解析式为 y =2 x -12 ，

由题意可得 ， △ ADB 为等腰直角三角形，

∴ ，

∵ 四边形 EGFH 为正方形，

∴△ EGF 为等腰直角三角形，

∴ ，

点 G 随着 E 点运动到达 上时，满足直线 BC 解析式 y =2 x -12 ，

∴ ，

∴ ，此时 ；

（ 3 ） B （ 4 ， -4 ）， C （ 6 ， 0 ）， ，

∴ , ， ,

要使以 B ， G ， C 和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，

需满足：

当 △ BGC 是直角三角形时， ，

，

解得， ， ，

此时 G 或（ 3 ， -3 ）；

当 △ BCG 为直角三角形时， ，

，

解得， ，

此时 G ；

当 △ CBG 为直角三角形时， ，

，

解得， ，

此时 G ；

综上所述：点 G 坐标为 或（ 3 ， -3 ） 或 ．

【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式、等腰直角三角形的性质和判定，动点运动问题，存在矩形问题，利用数形结合，注意分情况讨论是解题的关键．