我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．
(1) 如图一，在等腰 中，
，
边上有一点 D ，过点 D 作
于 E ，
于 F ，过点 C 作
于 G . 利用面积证明：
．
(2) 如图二，将矩形 沿着
折叠，使点 A 与点 C 重合，点 B 落在
处，点 G 为折痕
上一点，过点 G 作
于 M ，
于 N . 若
，
，求
的长．
(3) 如图三，在四边形 中， E 为线段
上的一点，
，
，连接
，且
，
，
，
，求
的长．
【收录时间】
2023-05-26
【知识点】
等腰三角形
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(1) 证明见解析
(2)
(3)
【分析】（ 1 ）根据题意，利用等面积法 ，根据等腰
中，
，即可得到结论；
（ 2 ）根据题中条件，利用折叠性质得到 ，结合矩形
中
得到
，从而有
，从而确定
是等腰三角形，从而利用（ 1 ）中的结论得到
，结合勾股定理及矩形性质即可得到结论；
（ 3 ）延长 交于
，连接
，过点
作
于
，根据
，
，
，得到
是等腰三角形，从而由（ 1 ）知
，在
中，
，在
中，
，
，联立方程
求解得
，从而得到结论．
【详解】（ 1 ）证明：连接 ，如图所示：
在等腰
中，
，
边上有一点 D ，过点 D 作
于 E ，
于 F ，过点 C 作
于 G ，
由
得
，
；
（ 2 ）解：连接 ，过点
作
于
，如图所示：
根据折叠可知 ，
在矩形 中，
，则
，
，即
是等腰三角形，
在等腰 中，
，
边上有一点 G ，过点 G 作
于 M ，
于 N ，过点
作
于
，由（ 1 ）可得
，
在 中，
，
，则
，
在四边形 中，
，则四边形
为矩形，
，即
；
（ 3 ）解：延长 交于
，连接
，过点
作
于
，
在四边形 中， E 为线段
上的一点，
，
，则
，
又
，
，
，即
是等腰三角形，
由（ 1 ）可得
，
设 ，
，
，
，
在 中，
，
在 中，
，
，
，解得
，
经检验， x =1 是方程的解用符合题意，
，即
．
【点睛】本题考查几何综合，涉及到等腰三角形的判定与性质、等面积求线段关系、折叠的性质、勾股定理求线段长、相似三角形的判定与性质等知识点，读懂题意，掌握（ 1 ）中的证明过程与结论并运用到其他情境中是解决问题的关键．
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2023-05-26
解答题
很难
炎渊
考点梳理：
根据可圈可点权威老师分析，试题 "
我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．(1)如图一，在等腰中，，边上有一点D，过点D作于E，于F，过点C作于
" 主要考察你对
等腰三角形的性质，等腰三角形的判定
等考点的理解。关于这些考点的"梳理资料"如下:
◎ 等腰三角形的性质，等腰三角形的判定的定义
定义：
有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
◎ 等腰三角形的性质，等腰三角形的判定的知识扩展
1、定义：有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
2、性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；
（2）等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
3、判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
2、性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；
（2）等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
3、判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
◎ 等腰三角形的性质，等腰三角形的判定的特性
等腰三角形的性质：
1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
9.等腰三角形中腰大于高
10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)
◎ 等腰三角形的性质，等腰三角形的判定的知识点拨
等腰三角形的判定：
1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。
◎ 等腰三角形的性质，等腰三角形的判定的教学目标
1、理解等腰三角形的性质和判定方法。
2、会运用等腰三角形的性质和判定进行有关的计算与简单的证明。
3、学会文字命题的证明方法、基本步骤和书写格式。
4、逐步学会分析几何证明题的方法及用规范的数学语言表述证明过程。
2、会运用等腰三角形的性质和判定进行有关的计算与简单的证明。
3、学会文字命题的证明方法、基本步骤和书写格式。
4、逐步学会分析几何证明题的方法及用规范的数学语言表述证明过程。
◎ 等腰三角形的性质，等腰三角形的判定的考试要求
能力要求：掌握
课时要求：70
考试频率：必考
分值比重：4
课时要求：70
考试频率：必考
分值比重：4