在平面直角坐标系中，已知一次函数 与坐标轴分别交于 ， 两点，且与反比例函数 的图象在第一象限内交于 P ， K 两点，连接 ， 的面积为 ．

(1) 求一次函数与反比例函数的解析式；

(2) 当 时，求 x 的取值范围；

(3) 若 C 为线段 上的一个动点，当 最小时，求 的面积．

答案

(1)

(2) 或 ，

(3)

【分析】（ 1 ）先运用待定系数法求出直线解析式，再根据 的面积为 和直线解析式求出点 P 坐标，从而可求出反比例函数解析式；

（ 2 ）联立方程组并求解可得点 K 的坐标，结合函数图象可得出 x 的取值范围；

（ 3 ）作点 K 关于 x 轴的对称点 ，连接 ， 交 x 轴于点 C ，连接 KC ，则 PC + KC 的值最小，求出点 C 的坐标，再根据 求解即可．

【详解】（ 1 ）解： ∵ 一次函数 与坐标轴分别交于 ， 两点，

∴ 把 ， 代入 得，

，解得， ，

∴ 一次函数解析式为

过点 P 作 轴于点 H ，

∵

∴

又

∴

∴

∴ ，

∴

∴

∵ 在双曲线上，

∴

∴

（ 2 ）解：联立方程组得，

解得， ，

∴

根据函数图象可得，反比例函数图象在直线上方时，有 或 ，

∴ 当 时，求 x 的取值范围为 或 ，

（ 3 ）解：作点 K 关于 x 轴的对称点 ，连接 交 x 轴于点 M ，则 （ 1 ， -2 ）， OM =1 ，

连接 交 x 轴于点 C ，连接 KC ，则 PC + KC 的值最小，

设直线 的解析式为

把 代入得，

解得，

∴ 直线 的解析式为

当 时， ，解得， ，

∴

∴

∴

，

∴

【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，正确作出辅助线是解答本题的关键．