在长为 2 ,宽为 x ( )的矩形纸片上,从它的一侧,剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形(第一次操作);从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形(第二次操作);按此方式,如果第三次操作后,剩下的纸片恰为正方形,则 x 的值为 .
或
【分析】分析题意,根据 x 的取值范围不同,对剩下矩形的长宽进行讨论,求出满足题意的 x 值即可.
【详解】解:第一次操作后剩下的矩形两边长为 和 ,
,
又 ,
,
,
则第一次操作后,剩下矩形的宽为 ,
所以可得第二次操作后,剩下矩形一边为 ,
另一边为: ,
∵ 第三次操作后,剩下的纸片恰为正方形,
∴ 第二次操作后剩下矩形的长是宽的 2 倍,
分以下两种情况进行讨论:
① 当 ,即 时 ,
第三次操作后剩下的矩形的宽为 ,长是 ,
则由题意可知: ,
解得: ;
② 当 ,即 时,
第三次操作后剩下的矩形的宽为 ,长是 ,
由题意得: ,
解得: ,
或者 .
故答案为: 或 .
【点睛】本题考查了矩形的性质,正方形的性质以及分类讨论的数学思想方法,熟练掌握矩形,正方形性质以及分类讨论的方法是解题的关键.
解一元一次方程的步骤:
一般解法:
⒈去分母:在方程两边都乘以各分母的最小公倍数(不含分母的项也要乘);
依据:等式的性质2
⒉ 去括号:一般先去小括号,再去中括号,最后去大括号,可根据 乘法分配律(记住如括号外有减号或除号的话一定要变号)
依据:乘法分配律
⒊ 移项:把方程中含有 未知数的项都移到方程的一边(一般是含有未知数的项移到方程左边,而把常数项移到右边)
依据:等式的性质1
⒋ 合并同类项:把方程化成ax=b(a≠0)的形式;
依据:乘法分配律(逆用乘法分配律)
⒌ 系数化为1:在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解
依据:等式的性质2
方程的同解原理 :
如果两个方程的解相同,那么这两个方程叫做同解方程。
⒈方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。
⒉方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。
做一元一次方程应用题的重要方法:
⒈认真 审题(审题)
⒉分析已知和未知量
⒊找一个合适的 等量关系
⒋设一个恰当的未知数
⒌列出合理的方程 (列式)
⒍解出方程(解题)
⒎ 检验
⒏写出答案(作答)
例:ax=b(a、b为常数)?
解:当a≠0,b=0时,
ax=0
x=0(此种情况与下一种一样)
当a≠0时,x=b/a。
当a=0,b=0时,方程有无数个解(注意:这种情况不属于一元一次方程,而属于恒等方程)
当a=0,b≠0时,方程无解(此种情况也不属于一元一次方程)
例:
(3x+1)/2-2=(3x-2)/10-(2x+3)/5
去分母(方程两边同乘各分母的最小 公倍数)得:
5(3x+1)-10×2=(3x-2)-2(2x+3)
去括号得:
15x+5-20=3x-2-4x-6
移项得:
15x-3x+4x=-2-6-5+20
合并同类项得:
16x=7
系数化为1得:
x=7/16。
注:字母公式(等式的性质)
a=b a+c=b+c a-c=b-c (等式的性质1)
a=b ac=bc
a=bc(c≠0)= a÷c=b÷c(等式的性质2)
检验 算出后需检验的。
求根公式
由于一元一次方程是 基本方程,教科书上的解法只有上述的方法。
但对于标准形式下的一元一次方程 ax+b=0
可得出求根公式x=-(b/a)
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