定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于 的点叫做这个函数图像的 “ n 阶方点 ” ．例如，点 是函数 图像的 “ 阶方点 ” ；点 是函数 图像的 “2 阶方点 ” ．

(1) 在 ① ； ② ； ③ 三点中，是反比例函数 图像的 “1 阶方点 ” 的有 ___________ （填序号）；

(2) 若 y 关于 x 的一次函数 图像的 “2 阶方点 ” 有且只有一个，求 a 的值；

(3) 若 y 关于 x 的二次函数 图像的 “ n 阶方点 ” 一定存在，请直接写出 n 的取值范围．

答案

(1)②③

(2)3 或 ；

(3)

【分析】（ 1 ）根据 “ n 阶方点 ” 的定义逐个判断即可；

（ 2 ）如图作正方形，然后分 a ＞ 0 和 a ＜ 0 两种情况，分别根据 “2 阶方点 ” 有且只有一个判断出所经过的点的坐标，代入坐标求出 a 的值，并舍去不合题意的值即可得；

（ 3 ）由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线 y ＝－ 2 x ＋ 1 上移动，作出简图，由函数图象可知，当二次函数图象过点（ n ，－ n ）和点（－ n ， n ）时为临界情况，求出此时 n 的值，由图象可得 n 的取值范围．

【详解】（ 1 ）解： ∵ 点 到 x 轴的距离为 2 ，大于 1 ，

∴ 不是反比例函数 图象的 “1 阶方点 ” ，

∵ 点 和点 都在反比例函数 的图象上，且到两坐标轴的距离都不大于 1 ，

∴ 和 是反比例函数 图象的 “1 阶方点 ” ，

故答案为： ②③ ；

（ 2 ）如图作正方形，四个顶点坐标分别为（ 2 ， 2 ），（－ 2 ， 2 ），（－ 2 ，－ 2 ），（ 2 ，－ 2 ），

当 a ＞ 0 时，若 y 关于 x 的一次函数 图象的 “2 阶方点 ” 有且只有一个，

则 过点（－ 2 ， 2 ）或（ 2 ，－ 2 ），

把（－ 2 ， 2 ）代入 得： ，解得： （舍去）；

把（ 2 ，－ 2 ）代入 得： ，解得： ；

当 a ＜ 0 时，若 y 关于 x 的一次函数 图象的 “2 阶方点 ” 有且只有一个，

则 过点（ 2 ， 2 ）或（－ 2 ，－ 2 ），

把（ 2 ， 2 ）代入 得： ，解得： ；

把（－ 2 ，－ 2 ）代入 得： ，解得： （舍去）；

综上， a 的值为 3 或 ；

（ 3 ） ∵ 二次函数 图象的顶点坐标为（ n ， ），

∴ 二次函数 图象的顶点坐标在直线 y ＝－ 2 x ＋ 1 上移动，

∵ y 关于 x 的二次函数 图象的 “ n 阶方点 ” 一定存在，

∴ 二次函数 的图象与以顶点坐标为（ n ， n ），（－ n ， n ），（－ n ，－ n ），（ n ，－ n ）的正方形有交点，

如图，当 过点（ n ，－ n ）时，

将（ n ，－ n ）代入 得： ，

解得： ，

当 过点（－ n ， n ）时，

将（－ n ， n ）代入 得： ，

解得： 或 （舍去），

由图可知，若 y 关于 x 的二次函数 图象的 “ n 阶方点 ” 一定存在， n 的取值范围为： ．

【点睛】本题考查了新定义，反比例函数图象上点的坐标特点，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，正确理解 “ n 阶方点 ” 的几何意义，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．