如图，矩形 中，
，点 E 在折线
上运动，将
绕点 A 顺时针旋转得到
，旋转角等于
，连接
．
(1) 当点 E 在 上时，作
，垂足为 M ，求证
；
(2) 当 时，求
的长；
(3) 连接 ，点 E 从点 B 运动到点 D 的过程中，试探究
的最小值．
答案
(1) 见详解
(2) 或
(3)
【分析】（ 1 ）证明 即可得证．
（ 2 ）分情况讨论，当点 E 在 BC 上时，借助 ，在
中求解；当点 E 在 CD 上时，过点 E 作 EG ⊥ AB 于点 G ， FH ⊥ AC 于点 H ，借助
并利用勾股定理求解即可．
（ 3 ）分别讨论当点 E 在 BC 和 CD 上时，点 F 所在位置不同， DF 的最小值也不同，综合比较取最小即可．
【详解】（ 1 ）如图所示，
由题意可知， ，
，
，
由旋转性质知： AE=AF ，
在 和
中，
，
，
．
（ 2 ）当点 E 在 BC 上时，
在 中，
，
，
则 ，
在 中，
，
，
则 ，
由（ 1 ）可得， ，
在 中，
，
，
则 ，
当点 E 在 CD 上时，如图，
过点 E 作 EG ⊥ AB 于点 G ， FH ⊥ AC 于点 H ，
同（ 1 ）可得 ，
，
由勾股定理得 ；
故 CF 的长为 或
．
（ 3 ）如图 1 所示，当点 E 在 BC 边上时，过点 D 作 于点 H ，
由（ 1 ）知， ，
故点 F 在射线 MF 上运动，且点 F 与点 H 重合时， DH 的值最小．
在 与
中，
，
，
，
即 ，
，
，
，
在 与
中，
，
，
，
即 ，
，
故 的最小值
；
如图 2 所示，当点 E 在线段 CD 上时，将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 的度数，得到线段 AR ，连接 FR ，过点 D 作
，
，
由题意可知， ，
在 与
中，
，
，
，
故点 F 在 RF 上运动，当点 F 与点 K 重合时， DF 的值最小；
由于 ，
，
，
故四边形 DQRK 是矩形；
，
，
，
，
故此时 DF 的最小值为 ；
由于 ，故 DF 的最小值为
．
【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理、解直角三角形，解决本题的关键是各性质定理的综合应用．
