如图,四边形 内接于 , 为 的直径, 平分 ,点 E 在 的延长线上,连接 .
(1) 求直径 的长;
(2) 若 ,计算图中阴影部分的面积.
(1)4
(2)6
【分析】( 1 )设 辅助线,利用直径、角平分线的性质得出 的度数,利用圆周角与圆心角的关系得出 的度数,根据半径与直径的关系,结合勾股定理即可得出结论.
( 2 )由( 1 )已知 , 得出 的度数,根据圆周角的性质结合 得出 ,再根据直径、等腰直角三角形的性质得出 的值,进而利用直角三角形面积公式求出 ,由阴影部分面积 可知 即为所求.
【详解】( 1 )解:如图所示,连接 ,
为 的直径, 平分 ,
, , .
.
, ,
,即 .
.
.
( 2 )解:如图所示,设其中小阴影面积为 ,大阴影面积为 ,弦 与劣弧 所形成的面积为 ,
由( 1 )已知 , , , ,
.
,
弦 弦 ,劣弧 劣弧 .
.
为 的直径, ,
, .
,
.
.
.
【点睛】本题考查圆的性质的理解与综合应用能力.涉及对半径与直径的关系,直径的性质,圆周角与圆心角的关系,圆周角的性质,勾股定理,直角三角形,角平分线等知识点.半径等于直径的一半;直径所对的圆周角是直角;在同圆或等圆中,相等的弦所对的圆周角等于圆心角的一半;在同圆或等圆中,圆周角相等 弧相等 弦相等.一个直角三角中,两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方.恰当借助辅助线,灵活运用圆周角的性质建立等式关系是解本题的关键.
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