【阅读材料】
老师的问题:已知:如图, . 求作:菱形 ,使点 C , D 分别在 上. | 小明的作法:( 1 )以 A 为圆心, 长为半径画弧,交 于点 D ; ( 2 )以 B 为圆心, 长为半经画弧,交 于点 C ; ( 3 )连接 . 四边形 就是所求作的菱形, |
【解答问题】
请根据材料中的信息,证明四边形 是菱形.
见解析
【分析】由作图可知 AD = AB = BC ,然后根据 可得四边形 ABCD 是平行四边形,再由 AD = AB 可得结论.
【详解】解:由作图可知 AD = AB = BC ,
∵ ,即 ,
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形,
又 ∵ AD = AB ,
∴ 平行四边形 ABCD 是菱形.
【点睛】本题考查了尺规作线段,平行四边形的判定,菱形的判定,熟练掌握相关判定定理是解题的关键.
平行四边形的性质:
主要性质
(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。)
(1)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两组对边分别相等。
(简述为“平行四边形的两组对边分别相等”)
(2)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两组对角分别相等。
(简述为“平行四边形的两组对角分别相等”)
(3)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的邻角互补
(简述为“平行四边形的邻角互补”)
(4)夹在两条平行线间的平行线段相等。
(5)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两条对角线互相平分。
(简述为“平行四边形的对角线互相平分”)
(6)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论)
(7)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形)
(8)过平行四边形对角线交点的直线,将平行四边形分成全等的两部分图形。
(9)平行四边形是中心对称图形,对称中心是两对角线的交点.
(10)平行四边形不是轴对称图形,矩形和菱形是轴对称图形。
注:正方形,矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形,三者具有平行四边形的性质。
(11)平行四边形ABCD中(如图)E为AB的中点,则AC和DE互相三等分,一般地,若E为AB上靠近A的n等分点,则AC和DE互相(n+1)等分。
(12)平行四边形ABCD中,AC、BD是平行四边形ABCD的对角线,则各四边的平方和等于对角线的平方和。
(13)平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。
(14)平行四边形中,两条在不同对边上的高所组成的夹角,较小的角等于平行四边形中较小的角,较大的角等于平行四边形中较大的角。
(15)平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高,与这个角的两边组成的夹角相等。
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