如图 1 ，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线 的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口
离地竖直高度为
（单位：
）．如图 2 ，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形
，其水平宽度
，竖直高度为
的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点
离喷水口的水平距离为
，高出喷水口
，灌溉车到
的距离
为
（单位：
）．
(1) 若 ，
；
① 求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程 ；
② 求下边缘抛物线与 轴的正半轴交点
的坐标；
③ 要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求 的取值范围；
(2) 若 ．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出
的最小值．
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2023-04-25
【知识点】
二次函数的图象和性质
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(1)① ,
； ②
； ③
(2)
【分析】（ 1 ） ① 根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；
② 设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由 C 点求出 B 点坐标；
③ 要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过 F 点，下边缘抛物线 ，计算即可；
（ 2 ）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点 ，
恰好分别在两条抛物线上，设出 D 、 F 坐标计算即可．
【详解】（ 1 ）（ 1 ） ① 如图 1 ，由题意得 是上边缘抛物线的顶点，
设 ．
又 ∵ 抛物线经过点 ，
∴ ，
∴ ．
∴ 上边缘抛物线的函数解析式为 ．
当 时，
，
∴ ，
（舍去）．
∴ 喷出水的最大射程 为
．
图 1
②∵ 对称轴为直线 ，
∴ 点 的对称点的坐标为
．
∴ 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 得到的，
即点 是由点
向左平移
得到，则点
的坐标为
．
③ 如图 2 ，先看上边缘抛物线，
∵ ，
∴ 点 的纵坐标为 0.5 ．
抛物线恰好经过点 时，
．
解得 ，
∵ ，
∴ ．
当 时，
随着
的增大而减小，
∴ 当 时，要使
，
则 ．
∵ 当 时，
随
的增大而增大，且
时，
，
∴ 当 时，要使
，则
．
∵ ，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴ 的最大值为
．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是 ，
∴ 的最小值为 2 ．
综上所述， 的取值范围是
．
（ 2 ） 的最小值为
．
由题意得 是上边缘抛物线的顶点，
∴ 设上边缘抛物线解析式为 ．
∵ 上边缘抛物线过出水口（ 0 ， h ）
∴
解得
∴ 上边缘抛物线解析式为
∵ 对称轴为直线 ，
∴ 点 的对称点的坐标为
．
∴ 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 得到的，
∴ 下边缘抛物线解析式为 ．
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点 ，
恰好分别在两条抛物线上，
∵ DE =3
∴ 设点 ，
，
，
∵ D 在下边缘抛物线上，
∴
∵ EF =1
∴
∴
，
解得 ，
代入 ，得
．
所以 的最小值为
．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键．
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2023-04-25
解答题
偏难
路林竹井
考点梳理：
根据可圈可点权威老师分析，试题 "
如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩
" 主要考察你对
二次函数的定义
等考点的理解。关于这些考点的"梳理资料"如下:
◎ 二次函数的定义的定义
定义：
一般地，如果
（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
一般地，如果
（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。 ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
②二次函数
（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。③二次函数
（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。◎ 二次函数的定义的知识扩展
1、定义：一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
2、二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：
（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：
（a，h，k是常数，a≠0）
（3）当抛物线
与x轴有交点时，即对应二次好方程
有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式
，二次函数
可转化为两根式
。如果没有交点，则不能这样表示。
（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。 2、二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：
（a，b，c是常数，a≠0）； （2）顶点式：
（a，h，k是常数，a≠0） （3）当抛物线
与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。 ◎ 二次函数的定义的特性
二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：（a，h，k是常数，a≠0）
（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
二次函数的一般形式的结构特征：
①函数的关系式是整式；
②自变量的最高次数是2；
③二次项系数不等于零。
（1）一般式：
（a，b，c是常数，a≠0）； （2）顶点式：
（a，h，k是常数，a≠0） （3）当抛物线
与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。 二次函数的一般形式的结构特征：
①函数的关系式是整式；
②自变量的最高次数是2；
③二次项系数不等于零。
◎ 二次函数的定义的知识点拨
二次函数的判定：
二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
当b=0，c=0时，y=ax2是特殊的二次函数；
判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。
二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
当b=0，c=0时，y=ax2是特殊的二次函数；
判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成
（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。◎ 二次函数的定义的教学目标
1、知识与技能：使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法。
2、过程与方法：通过二次函数定义的教学，培养学生善于观察、发现、探索、归纳问题的能力。
3、情感、态度与价值观：培养学生主动探索，敢于实践，勇于发现，合作交流的精神。
2、过程与方法：通过二次函数定义的教学，培养学生善于观察、发现、探索、归纳问题的能力。
3、情感、态度与价值观：培养学生主动探索，敢于实践，勇于发现，合作交流的精神。
◎ 二次函数的定义的考试要求
能力要求：知道
课时要求：30
考试频率：少考
分值比重：2
课时要求：30
考试频率：少考
分值比重：2