图 1 中有四条优美的 “ 螺旋折线 ” ,它们是怎样画出来的呢?如图 2 ,在正方形 各边上分别取点 , , , ,使 ,依次连接它们,得到四边形 ;再在四边形 各边上分别取点 , , , ,使 ,依次连接它们,得到四边形 ; … 如此继续下去,得到四条螺旋折线.
图 1
(1) 求证:四边形 是正方形;
(2) 求 的值;
(3) 请研究螺旋折线 … 中相邻线段之间的关系,写出一个正确结论并加以证明.
(1) 见解析
(2)
(3) 螺旋折线 … 中相邻线段的比均为 或 ,见解析
【分析】( 1 )证明 ,则 ,同理可证 ,再证明有一个角为直角,即可证明四边形为正方形;
( 2 )勾股定理求解 的长度,再作比即可;
( 3 )两个结论:螺旋折线 … 中相邻线段的比均为 或 ;螺旋折线 … 中相邻线段的夹角的度数不变,选一个证明即可,证明过程见详解.
【详解】( 1 )在正方形 中, , ,
又 ∵ ,
∴ .
∴ .
∴ , .
又 ∵ ,
∴ .
∴ .
同理可证: .
∴ 四边形 是正方形.
( 2 ) ∵ ,设 ,则 .
∴ .
∴ 由勾股定理得: .
∴ .
( 3 )结论 1 :螺旋折线 … 中相邻线段的比均为 或 .
证明: ∵ ,
∴ .
同理, . …
∴ .
同理可得 , …
∴ 螺旋折线 … 中相邻线段的比均为 或 .
结论 2 :螺旋折线 … 中相邻线段的夹角的度数不变.
证明: ∵ , ,
∴ ,
∴ .
同理得: ,
∵ ,
∴ ,即 .
同理可证 .
∴ 螺旋折线 … 中相邻线段的夹角的度数不变.
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定、勾股定理、相似三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质,熟练掌握全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定是解题的关键.
三角形全等判定定理:
1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”),这一条也说明了
三角形具有稳定性的原因。
2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)
5、直角三角形全等条件有:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边,直角边”) 所以:SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
注意:在全等的判定中,没有AAA和SSA,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
三角形全等的判定公理及推论:
(1)“边角边”简称“SAS”
(2)“角边角”简称“ASA”
(3)“边边边”简称“SSS”
(4)“角角边”简称“AAS”
注意:在全等的判定中,没有AAA和SSA,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
要验证全等三角形,不需验证所有边及所有角也对应地相同。
以下判定,是由三个对应的部分组成,即全等三角形可透过以下定义来判定:
①S.S.S. (边、边、边):
各三角形的三条边的长度都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。
②S.A.S. (边、角、边):
各三角形的其中两条边的长度都对应地相等,且两条边夹着的角都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。
③A.S.A. (角、边、角):
各三角形的其中两个角都对应地相等,且两个角夹着的边都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。
④A.A.S. (角、角、边):
各三角形的其中两个角都对应地相等,且没有被两个角夹着的边都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。
⑤R.H.S. / H.L. (直角、斜边、边):
各三角形的直角、斜边及另外一条边都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。 但并非运用任何三个相等的部分便能判定三角形是否全等。以下的判定同样是运用两个三角形的三个相等的部分,但不能判定全等三角形:
⑥A.A.A. (角、角、角):
各三角形的任何三个角都对应地相等,但这并不能判定全等三角形,但则可判定相似三角形。
⑦A.S.S. (角、边、边):
各三角形的其中一个角都相等,且其余的两条边(没有夹着该角),但这并不能判定全等三角形,除非是直角三角形。
但若是直角三角形的话,应以R.H.S.来判定。
解题技巧:
一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。
因此我们可以来采取逆思维的方式。
来想要证全等,则需要什么条件:要证某某边等于某某边,那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。
然后把所得的等式运用(AAS/ASA/SAS/SSS/HL)证明三角形全等。
有时还需要画辅助线帮助解题。常用的辅助线有:倍长中线,截长补短等。
分析完毕以后要注意书写格式,在全等三角形中,如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象。
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