如图,在菱形 ABCD 中, ∠ A =60° , AB =6 .折叠该菱形,使点 A 落在边 BC 上的点 M 处,折痕分别与边 AB , AD 交于点 E , F .当点 M 与点 B 重合时, EF 的长为 ________ ;当点 M 的位置变化时, DF 长的最大值为 ________ .
【分析】当点 M 与点 B 重合时, EF 垂直平分 AB ,利用三角函数即可求得 EF 的长;根据折叠的性质可知, AF = FM , 若 DF 取最大值,则 FM 取最小值,即为边 AD 与 BC 的距离 DG ,即可求解 .
【详解】解:当点 M 与点 B 重合时,由折叠的性质知 EF 垂直平分 AB ,
∴ AE = EB = AB =3 ,
在 Rt △ AEF 中, ∠ A =60° , AE =3 ,
tan60°= ,
∴ EF =3 ;
当 AF 长取得最小值时, DF 长取得最大值,
由折叠的性质知 EF 垂直平分 AM ,则 AF = FM ,
∴ FM ⊥ BC 时, FM 长取得最小值,此时 DF 长取得最大值,
过点 D 作 DG ⊥ BC 于点 C ,则四边形 DGMF 为矩形,
∴ FM = DG ,
在 Rt △ DGC 中, ∠ C =∠ A =60° , DC = AB =6 ,
∴ DG = DC sin60°=3 ,
∴ DF 长的最大值为 AD - AF = AD - FM = AD - DG =6-3 ,
故答案为: 3 ; 6-3 .
【点睛】本题考查了菱形的性质,折叠的性质,解直角三角形,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
登录并加入会员可无限制查看知识点解析