如图，抛物线 经过 ， 两点，与 x 轴的另一个交点为 A ，与 y 轴相交于点 C ．

(1) 求抛物线的解析式和点 C 的坐标；

(2) 若点 M 在直线 上方的抛物线上运动（与点 B ， C 不重合），求使 面积最大时 M 点的坐标，并求最大面积；（请在图 1 中探索）

(3) 设点 Q 在 y 轴上，点 P 在抛物线上，要使以点 A ， B ， P ， Q 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点 P 的坐标．（请在图 2 中探索）

答案

(1) ，

(2) ，当 时， S 有最大值为

(3) 满足条件的点 P 坐标为 ， ，

【分析】（ 1 ）用待定系数法求函数的解析式即可；

（ 2 ）作直线 BC ，过 M 点作 MN ∥ y 轴交 BC 于点 N ，求出直线 BC 的解析式，设 M （ m ， - + m + ），则 N （ m ， - m + ），可得 S _△ MBC = • MN • OB = + ，再求解即可；

（ 3 ）设 Q （ 0 ， t ）， P （ m ， - + m + ），分三种情况讨论： ① 当 AB 为平行四边形的对角线时； ② 当 AQ 为平行四边形的对角线时； ③ 当 AP 为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式求解即可．

【详解】（ 1 ）解：把点 和 分别代入 可得

，

解得

∴ 抛物线的解析式为

把 代入 可得

∴ ；

（ 2 ）解：作直线 ，作 轴交直线 于点 N

设直线 的解析式为 （ ）

把点 和 分别代入

可得

解得

∴ 直线 的解析式为

设点 M 的横坐标为 m

∴ ，

∴

∴

（ ）

∴ 当 时， S 有最大值为

把 代入 可得

∴ ；

（ 3 ）解：当以 为边时，只要 ，且 即可

∴ 点 P 的横坐标为 4 或 -4

把 代入 可得

把 代入 可得

∴ 此时 ，

当以 为对角线时，作 轴于点 H

∵ 四边形 是平行四边形

∴

∴

在 和 中

∴

∴

∴

∴ 点 P 的横坐标为 2

把 代入 可得

∴ 此时

综上所述，满足条件的点 P 坐标为 ， ，

【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．