如图,在 中,点 O 是 的中点,连接 并延长交 的延长线于点 E ,连接 、 .
( 1 )求证:四边形 是平行四边形;
( 2 )若 ,判断四边形 的形状,并说明理由.
( 1 )证明见详解;( 2 )四边形 ACDE 是菱形,理由见详解.
【分析】( 1 )利用平行四边形的性质,即可判定 ,即可得到 ,再根据 CD ∥ AE ,即可证得四边形 ACDE 是平行四边形;
( 2 )利用( 1 )的结论和平行四边形的性质可得 AC=CD ,由此即可判定是菱形.
【详解】( 1 )证明:在 ABCD 中, AB ∥ CD ,
∴ ,
∵ 点 O 为 AD 的中点,
∴ ,
在 与 中,
∵ ,
,
,
∴ ,
∴ ,
又 ∵ BE ∥ CD ,
∴ 四边形 ACDE 是平行四边形;
( 2 )解:由( 1 )知四边形 ACDE 是平行四边形, ,
∵ ,
∴ ,
∴ 四边形 ACDE 是菱形.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、三角形全等、菱形的判定等,熟练掌握判定定理并融会贯通是解题的关键.
平行四边形的性质:
主要性质
(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。)
(1)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两组对边分别相等。
(简述为“平行四边形的两组对边分别相等”)
(2)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两组对角分别相等。
(简述为“平行四边形的两组对角分别相等”)
(3)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的邻角互补
(简述为“平行四边形的邻角互补”)
(4)夹在两条平行线间的平行线段相等。
(5)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两条对角线互相平分。
(简述为“平行四边形的对角线互相平分”)
(6)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论)
(7)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形)
(8)过平行四边形对角线交点的直线,将平行四边形分成全等的两部分图形。
(9)平行四边形是中心对称图形,对称中心是两对角线的交点.
(10)平行四边形不是轴对称图形,矩形和菱形是轴对称图形。
注:正方形,矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形,三者具有平行四边形的性质。
(11)平行四边形ABCD中(如图)E为AB的中点,则AC和DE互相三等分,一般地,若E为AB上靠近A的n等分点,则AC和DE互相(n+1)等分。
(12)平行四边形ABCD中,AC、BD是平行四边形ABCD的对角线,则各四边的平方和等于对角线的平方和。
(13)平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。
(14)平行四边形中,两条在不同对边上的高所组成的夹角,较小的角等于平行四边形中较小的角,较大的角等于平行四边形中较大的角。
(15)平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高,与这个角的两边组成的夹角相等。
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