如图,在平面直角坐标系中, Rt 的直角顶点 B 在 x 轴的正半轴上,点 O 与原点重合,点 A 在第一象限,反比例函数 ( )的图象经过 OA 的中点 C ,交 于点 D ,连接 .若 的面积是 1 ,则 k 的值是 _________ .
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【分析】连接 OD ,过 C 作 ,交 x 轴于 E ,利用反比例函数 k 的几何意义得到 ,根据 OA 的中点 C ,利用 △ OCE ∽△ OAB 得到面积比为 1 : 4 ,代入可得结论.
【详解】解:连接 OD ,过 C 作 ,交 x 轴于 E ,
∵∠ ABO = 90° ,反比例函数 ( x > 0 )的图象经过 OA 的中点 C , ,
∴ , , 2 OC = OA ,
∵ ,
∴△ OCE ∽△ OAB ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ k = ,
故答案为: .
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数 k 的几何意义:在反比例函数 y = 图象中任取一点,过这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值 .在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线,这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 ,且保持不变.也考查了相似三角形的判定与性质.
自变量的取值范围:
①在一般的情况下,自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数;
②函数y的取值范围也是任意非零实数。
反比例函数性质:
①反比例函数的表达式中,等号左边是函数值y,等号右边是关于自变量x的分式,分子是不为零的常数k,分母不能是多项式,只能是x的一次单项式;
②反比例函数表达式中,常数(也叫比例系数)k≠0是反比例函数定义的一个重要组成部分;
③反比例函数 (k是常数,k≠0)的自变量x的取值范围是不等式0的任意实数,函数值y的取值范围也是非零实数。
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