如图,在等腰直角三角形 中, ,点 P 在以斜边 为直径的半圆上, M 为 的中点,当点 P 沿半圆从点 A 运动至点 B 时,点 M 运动的路径长是 _______ .
【分析】取 的中点 、 的中点 、 的中点 ,连接 、 、 、 、 、 ,可得四边形 CEOF 是正方形,由 OP = OC 得 OM ⊥ PC ,则可得点 M 的运动路径,从而求得路径的长.
【详解】取 的中点 、 的中点 、 的中点 ,连接 、 、 、 、 、 ,如图,
则 ,且 , , ,
∴ 四边形 CEOF 为平行四边形,
∵ AC = BC , ∠ ACB =90 ° ,
∴ 四边形 为正方形,
∴ CE = CF = , EF = OC ,
由勾股定理得: ,
∵ 在等腰 中, ,
∴ ,
∴ , ,
∵ 为 的中点,
∴ ,
∴ ,
∴ 点 在以 为直径的圆上,
当点 点在点 时, 点在 点;点 点在点 时, 点在 点,
∴ 点的路径为以 为直径的半圆,
∴ 点 运动的路径长 .
故答案是: .
【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质及正方形的判定,确定点 M 的运动路径是关键与难点.
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