如图,在 中, ,以 B 为圆心,适当长为半径画弧交 于点 M ,交 于点 N ,分别以 M , N 为圆心,大于 MN 的长为半径画弧,两弧相交于点 D ,射线 交 于点 E ,点 F 为 的中点,连接 ,若 ,则 的周长是( )
A . 8 B . C . D .
D
【分析】由尺规作图可知, BE 为 ∠ ABC 的平分线,结合等腰三角形的性质可得 BE ⊥ AC , AE = CE = AC = 2 ,利用勾股定理求出 AB 、 BC 的长度,进而可得 EF = AB =2 , CF = BC = ,即可得出答案.
【详解】由题意得, BE 为 ∠ ABC 的平分线,
∵ AB = BC ,
BE ⊥ AC , AE = CE = AC = 2 ,
由勾股定理得,
AB = BC = ,
∵ 点 F 为 BC 的中点,
∴ EF = AB = , CF = BC = ,
∴ ∆ CEF 的周长为: +2= 2 + 2 .
故选: D .
【点睛】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、勾股定理,熟练掌握角平分线的作图步骤以及等腰三角形的性质是解答本题的关键.
等腰三角形的性质:
1.等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。
2.等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高重合(简写成“等腰三角形的三线合一”)。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
7.等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴,等边三角形有三条对称轴。
8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
9.等腰三角形中腰大于高
10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)
等腰三角形的判定:
1.定义法:在同一三角形中,有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2.判定定理:在同一三角形中,有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称:等角对等边)。
3.顶角的平分线,底边上的中分线,底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。
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如图,在下列等腰三角形中,若,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是 ( )
A.(1),(2),(3)
C. (2),(3),(4)
B. (1),(3),(4)
D. (1),(2),(4)