正方形 ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示,点 A 的坐标为( 2 , 0 ),点 B 的坐标为( 0 , 4 ).若反比例函数 y = ( k ≠ 0 )的图象经过点 C ,则 k 的值为 _____ .
24
【分析】过点 C 作 CE ⊥ y 轴,由正方形的性质得出 ∠ CBA =90° , AB = BC ,再利用各角之间的关系得出 ∠ CBE =∠ BAO ,根据全等三角形的判定和性质得出 OA = BE =2 , OB = CE =4 ,确定点 C 的坐标,然后代入函数解析式求解即可.
【详解】解:如图所示,过点 C 作 CE ⊥ y 轴,
∵ 点 B ( 0 , 4 ), A ( 2 , 0 ),
∴ OB =4 , OA =2 ,
∵ 四边形 ABCD 为正方形,
∴∠ CBA =90° , AB = BC ,
∴∠ CBE +∠ ABO =90° ,
∵∠ BAO +∠ ABO =90° ,
∴∠ CBE =∠ BAO ,
∵∠ CEB =∠ BOA =90° ,
∴ ,
∴ OA = BE =2 , OB = CE =4 ,
∴ OE = OB + BE =6 ,
∴ C ( 4 , 6 ),
将点 C 代入反比例函数解析式可得:
k =24 ,
故答案为: 24 .
【点睛】题目主要考查正方形的性质,全等三角形的判定和性质,反比例函数解析式的确定等,理解题意,综合运用这些知识点是解题关键.
特殊位置的点的坐标的特点:
1.x轴上的点的纵坐标为零;y轴上的点的横坐标为零。
2.第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
3.在任意的两点中,如果两点的横坐标相同,则两点的连线平行于纵轴;如果两点的纵坐标相同,则两点的连线平行于横轴。
4.点到轴及原点的距离
点到x轴的距离为|y|; 点到y轴的距离为|x|;点到原点的距离为x的平方加y的平方的平方根;
对称点:
1.关于x轴成轴对称的点的坐标,横坐标相同,纵坐标互为相反数。(横同纵反)
2.关于y轴成轴对称的点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数。(横反纵同)
3.关于原点成中心对称的点的坐标,横坐标与横坐标互为相反数,纵坐标与纵坐标互为相反数。(横纵皆反)
点的符号:
横坐标 纵坐标
第一象限:(+,+)正正
第二象限:(-,+)负正
第三象限:(-,-)负负
第四象限:(+,-)正负
x轴正半轴:(+,0)
x轴负半轴:(-,0)
y轴正半轴:(0,+)
y轴负半轴: (0,-)
x轴上的点的纵坐标为0,y轴上的点的横坐标为0。
原点:(0,0)
注:以数对形式(x,y)表示的坐标系中的点(如2,-4),“2”是x轴坐标,“-4”是y轴坐标。
其他公式:
1.坐标平面内的点与有序实数对一一对应。
2. 一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。
3.二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。
4.一点上下平移,横坐标不变,即平行于y轴的直线上的点横坐标相同。
5.y轴上的点,横坐标都为0。
6.x轴上的点,纵坐标都为0。
7.坐标轴上的点不属于任何象限。
8.一个关于x轴对称的点横坐标不变,纵坐标变为原坐标的相反数。反之同样成立。
9.一个关于原点对称的点横纵坐标均为原坐标相反数。
10.与x轴做轴对称变换时,x不变,y变
11.与y轴做轴对称变换时,y不变,x变
12.与原点做轴对称变换时,y与x都变
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