如图,在 ⊙ O 中, AB 是 ⊙ O 的直径, AB = 10 , = = ,点 E 是点 D 关于 AB 的对称点, M 是 AB 上的一动点,下列结论: ①∠ BOE =30° ; ②∠ DOB =2∠ CED ; ③ DM ⊥ CE ; ④ CM + DM 的最小值是 10 ,上述结论中正确的个数是( )
A . 1 B . 2 C . 3 D . 4
B
【解析】
【分析】
根据 = = 和点 E 是点 D 关于 AB 的对称点,求出 ∠ DOB =∠ COD =∠ BOE =60° ,求出 ∠ CED ,即可判断 ①② ;根据圆周角定理求出当 M 和 A 重合时 ∠ MDE =60° 即可判断 ③ ;求出 M 点的位置,根据圆周角定理得出此时 DF 是直径,即可求出 DF 长,即可判断 ④ .
【详解】
解: ∵ = = ,点 E 是点 D 关于 AB 的对称点,
∴ = ,
∴∠ DOB =∠ BOE =∠ COD = ×180°=60° , ∴① 错误;
∠ CED = ∠ COD = ×60°=30°= ∠ DOB ,即 ∠ DOB =2∠ CED ; ∴② 正确;
∵ 的度数是 60° ,
∴ 的度数是 120° ,
∴ 只有当 M 和 A 重合时, ∠ MDE =60° ,
∵∠ CED =30° ,
∴ 只有 M 和 A 重合时, DM ⊥ CE , ∴③ 错误;
作 C 关于 AB 的对称点 F ,连接 CF ,交 AB 于 N ,连接 DF 交 AB 于 M ,此时 CM + DM 的值最短,等于 DF 长,
连接 CD ,
∵ = = = ,并且弧的度数都是 60° ,
∴∠ D = ×120°=60° , ∠ CFD = ×60°=30° ,
∴∠ FCD =180°-60°-30°=90° ,
∴ DF 是 ⊙ O 的直径,
即 DF = AB =10 ,
∴ CM + DM 的最小值是 10 , ∴④ 正确;
综上所述,正确的个数是 2 个.
故选: B .
【点睛】
本题考查了圆周角定理,轴对称 - 最短问题等知识点,能灵活运用圆周角定理求出各个角的度数和求出 M 的位置是解此题的关键.