某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两要互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
（ 1 ）如图 1 ，在正方形 中，点
，
分别是
，
上的两点，连接
，
，
，则
的值为 __________ ；
（ 2 ）如图 2 ，在矩形 中，
，
，点
是
上的一点，连接
，
，且
，则
的值为 __________ ；
【类比探究】
（ 3 ）如图 3 ，在四边形 中，
，点
为
上一点，连接
，过点
作
的垂线交
的延长线于点
，交
的延长线于点
，求证：
；
【拓展延伸】
（ 4 ）如图 4 ，在 中，
，
，
，将
沿
翻折，点
落在点
处得
，点
，
分别在边
，
上，连接
，
，且
．
① 求 的值；
② 连接 ，若
，直接写出
的长度．
【收录时间】
2022-01-24
【知识点】
相似三角形
查看答案
加入试题篮
（ 1 ） 1 ；（ 2 ） ；（ 3 ）证明见解析；（ 4 ） ①
； ②
．
【解析】
【分析】
（ 1 ）先根据正方形的性质可得 ，再根据直角三角形的性质可得
，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得
，由此即可得出答案；
（ 2 ）先根据矩形的性质可得 ，再根据直角三角形的性质可得
，然后根据相似三角形的判定与性质即可得；
（ 3 ）如图（见解析），先根据矩形的判定与性质可得 ，再根据直角三角形的性质、对顶角相等可得
，然后根据相似三角形的判定可得
，由此即可得证；
（ 4 ） ① 如图（见解析），先证出 ，从而可得
，再分别在
和
中，解直角三角形可得
，
，然后根据翻折的性质可得
，最后利用
的面积公式求出
的长，由此即可得出答案；
② 先根据（ 4 ） ① 中，相似三角形的性质可得 ，可求出
，再根据翻折的性质可得
，然后在
中，利用勾股定理可得
，从而可得
，最后在
中，利用勾股定理即可得．
【详解】
解：（ 1 ） 四边形
是正方形，
，
，
，
，
，
在 和
中，
，
，
，
；
（ 2 ） 四边形
是矩形，
，
，
，
，
，
在 和
中，
，
，
；
（ 3 ）如图，过点 作
交
的延长线于点
，
∵ ，
，
∴ ，
∴ 四边形 为矩形，
∴ ，
，
，
，
，
，
在 和
中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（ 4 ） ① 过 作
于点
，连接
交
于点
，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
在 和
中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中，
，
，
∴ ，
在 中，
，
设 ，则
，
∴ ，即
，
∴ 或
（舍去），
∴ ，
，
由翻折的性质得： ，
，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
② 由（ 4 ） ① 已证： ，
，
，
，
，解得
，
由翻折的性质得： ，
在 中，
，
，
在 中，
．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、翻折的性质、解直角三角形等知识点，较难的是题（ 4 ） ① ，通过作辅助线，构造直角三角形和相似三角形是解题关键．
单日会员可无限次解锁答案，低至9.9》
2022-01-24
解答题
偏难
黄帅
考点梳理：
根据可圈可点权威老师分析，试题 "
某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两要互相垂直的线段做了如下探究：【观察与猜想】（1）如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，，则的值为__________；（2）如图2，在矩形中，
" 主要考察你对
相似三角形的判定
等考点的理解。关于这些考点的"梳理资料"如下:
◎ 相似三角形的判定的定义
相似三角形：
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
互为相似形的三角形叫做相似三角形。
例如图中，若B'C'//BC，那么角B=角B'，角BAC=角B'A'C'，是对顶角，那么我们就说△ABC∽△AB'C'
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
互为相似形的三角形叫做相似三角形。
例如图中，若B'C'//BC，那么角B=角B'，角BAC=角B'A'C'，是对顶角，那么我们就说△ABC∽△AB'C'
◎ 相似三角形的判定的知识扩展
1、相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2、相似三角形的判定：
判定定理：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；
（4）如果一个三角形的两角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
2、相似三角形的判定：
判定定理：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；
（4）如果一个三角形的两角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
◎ 相似三角形的判定的特性
相似三角形的判定：
1.基本判定定理
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。)
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。)
(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似。
2.直角三角形判定定理
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
3.一定相似：
（1）.两个全等的三角形
（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1）
（2）.两个等腰三角形
（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。）
（3）.两个等边三角形
(两个等边三角形，三个内角都是60度，且边边相等，所以相似)
（4）.直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形。
◎ 相似三角形的判定的知识点拨
相似三角形判定方法：
证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。
一、（预备定理）
平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明）
二、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
三、如果两个三角形的两组对应边成比例，并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。
四、如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似
五（定义）
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形
六、两三角形三边对应垂直，则两三角形相似。
七、两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。
八、由角度比转化为线段比：h1/h2=Sabc
易失误
比值是一个具体的数字如：AB/EF=2
而比不是一个具体的数字如：AB/EF=2：1
证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。
一、（预备定理）
平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明）
二、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
三、如果两个三角形的两组对应边成比例，并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。
四、如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似
五（定义）
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形
六、两三角形三边对应垂直，则两三角形相似。
七、两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。
八、由角度比转化为线段比：h1/h2=Sabc
易失误
比值是一个具体的数字如：AB/EF=2
而比不是一个具体的数字如：AB/EF=2：1
◎ 相似三角形的判定的教学目标
1、经历三角形相似与全等的类比过程，进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想。
2、通过经历两个三角形相似条件的探索过程，发现“两角对应相等的两个三角形相似”的判定方法；掌握判定两个三角形相似的基本方法。
3、进一步发展学生的探究、交流能力、合情推理能力和初步的逻辑推理意识，并能够运用三角形相似的条件解决简单问题。
2、通过经历两个三角形相似条件的探索过程，发现“两角对应相等的两个三角形相似”的判定方法；掌握判定两个三角形相似的基本方法。
3、进一步发展学生的探究、交流能力、合情推理能力和初步的逻辑推理意识，并能够运用三角形相似的条件解决简单问题。
◎ 相似三角形的判定的考试要求
能力要求：掌握
课时要求：120
考试频率：常考
分值比重：5
课时要求：120
考试频率：常考
分值比重：5