在 中，
，将
绕点 B 顺时针旋转得到
，其中点 A ， C 的对应点分别为点
，
．
（ 1 ）如图 1 ，当点 落在
的延长线上时，求
的长；
（ 2 ）如图 2 ，当点 落在
的延长线上时，连接
，交
于点 M ，求
的长；
（ 3 ）如图 3 ，连接 ，直线
交
于点 D ，点 E 为
的中点，连接
．在旋转过程中，
是否存在最小值？若存在，求出
的最小值；若不存在，请说明理由．
答案
（ 1 ） ；（ 2 ）
；（ 3 ）存在，最小值为 1
【分析】
（ 1 ）根据题意利用勾股定理可求出 AC 长为 4 ．再根据旋转的性质可知 ，最后由等腰三角形的性质即可求出
的长．
（ 2 ）作 交
于点 D ，作
交
于点 E ．由旋转可得
，
．再由平行线的性质可知
，即可推出
，从而间接求出
，
．由三角形面积公式可求出
．再利用勾股定理即可求出
，进而求出
．最后利用平行线分线段成比例即可求出
的长．
（ 3 ）作 且交
延长线于点 P ，连接
．由题意易证明
，
，
，即得出
．再由平行线性质可知
，即得出
，即可证明
，由此即易证
，得出
，即点 D 为
中点．从而证明 DE 为
的中位线，即
．即要使 DE 最小，
最小即可．根据三角形三边关系可得当点
三点共线时
最小，且最小值即为
，由此即可求出 DE 的最小值．
【详解】
（ 1 ）在 中，
．
根据旋转性质可知 ，即
为等腰三角形．
∵ ，即
，
∴ ，
∴ ．
（ 2 ）如图，作 交
于点 D ，作
交
于点 E ．
由旋转可得 ，
．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
．
∵ ，即
，
∴ ．
在 中，
，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，即
，
∴ ．
（ 3 ）如图，作 且交
延长线于点 P ，连接
．
∵ ，
∴ ，
∵ ，即
，
又 ∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ 在 和
中
，
∴ ，
∴ ，即点 D 为
中点．
∵ 点 E 为 AC 中点，
∴ DE 为 的中位线，
∴ ，
即要使 DE 最小， 最小即可．
根据图可知 ，即当点
三点共线时
最小，且最小值为
．
∴ 此时 ，即 DE 最小值为 1 ．
【点睛】
本题为旋转综合题．考查旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质以及三角形三边关系，综合性强，为困难题．正确的作出辅助线为难点也是解题关键．
