如图 1 ，点 O 在直线 上，过点 O 引一条射线 ，使 ，将一个直角三角尺的直角顶点放在点 O 处，直角边 在射线 上，另一边 在直线 的下方．

（操作一）：将图 1 中的三角尺绕着点 O 以每秒 的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为 t 秒．

（ 1 ） 的度数是 ___________ ，图 1 中与它互补的角是 ___________ ．

（ 2 ）三角尺旋转的度数可表示为 ___________ （用含 t 的代数式表示）：当 ___________ 时， ．

（操作二）：如图 2 将一把直尺的一端点也放在点 O 处，另一端点 E 在射线 上．如图 3 ，在三角尺绕着点 O 以每秒 的速度按顺时针方向旋转的同时，直尺也绕着点 O 以每秒 的速度按顺时针方向旋转，当一方完成旋转一周时停止，另一方也停止旋转，设旋转的时间为 t 秒．

（ 3 ）当 t 为何值时， ，并说明理由？

（ 4 ）试探索：在三角尺与直尺旋转的过程中，当 ，是否存在某个时刻，使得 与 中其中一个角是另一个角的两倍？若存在，请求出所有满足题意的 t 的值；若不存在，请说明理由．

答案

（ 1 ） ， ；（ 2 ） ， 秒或 秒；（ 3 ） 4 秒或 22 秒，理由见解析；（ 4 ）存在， 秒、 秒、 秒

【分析】

（ 1 ）根据 与 互补即可得出结果；

（ 2 ）用旋转的速度乘以 得到度数，由 ，分情况讨论，求出旋转角的度数，即可算出 的值；

（ 3 ）分类讨论，用 表示出三角尺和直尺的旋转度数，根据 ，列式求出 的值；

（ 4 ）分类讨论，当 在 左侧或当 在 右侧，根据 与 中其中一个角是另一个角的两倍，列出式子求出 的值．

【详解】

（ 1 ） ∵ ， ，

∴ ，

与 互补的角是 ，

故答案是： ， ；

（ 2 ）旋转的速度是每秒 ，

∴ 旋转的度数表示为 ，

当 时，

① ，

∴ ，

，解得 ，

② 旋转角为 ，

，解得 ，

故答案是： ， 或 ；

（ 3 ） ① 如图 ① 当 在 左侧时， 度， 度，

∵ ，

∴ ，

由题意得 ，解得 ，

② 如图 ② 当 在 右侧时，三角尺旋转的角度为 度，直尺旋转的角度为 度，

∵ ，

∴ ，

由题意得 ，解得 ，

综上所述，当 秒或 22 秒时， ；

（ 4 ） ① 当 在 左侧时，

（ ⅰ ） ，如图 ③ ，

，解得 ；

（ ⅱ ） ，如图 ④ ，

，解得 ；

② 当 在 右侧时，

（ ⅰ ） ，如图 ⑤ ，

，解得 ；

（ ⅱ ） ，因为 ，所以不存在；

∴ 综上所述，当 秒、 秒、 秒时两个角其中一个是另一个的两倍．

【点睛】

本题考查角度旋转问题，解题的关键是根据角度旋转的速度设出旋转角的度数，再根据题意列出与时间 有关的方程进行求解，需要掌握分类讨论的思想．