如果在一个多位自然数 中,各数位上的数字之和恰好等于 10 ,则称这个数 “ 十全十美数 ” ,并将它各数位上的数字之积记为 .例如在数 1234 中,因为 ,所以数 1234 是 “ 十全十美数 ” ,且 .
( 1 )若在一个自然数中的任意两个相邻数位上,左边数位上的数字大于或等于右边数位上的数学,则称这个自然数 “ 降序数 ” 例如:在数 32210 中,因为 ,所以数 32210 是 “ 降序数 ” ,已知四位自然数 既是 “ 十全十美数 ” 又是 “ 降序数 ” ,它的千位上的数字是 5 , .将数 千位上的数字减 1 ,个位上的数字加 1 ,得到数 , . 求出数 ;
( 2 ) “ 十全十美数 ” 是三位自然数,将数 百位上的数字与个位上的数字交换得到数 ,若 ,求 的最大值.
( 1 ) 5320 ;( 2 ) 32
【分析】
( 1 )设四位数 a 的百位上数字是 m ,十位上数字为 n ,由已知得 m+n=5 ,再由 F ( b ) =24 ,可求得 mn=6 ,求出 m 、 n 即可;
( 2 )设 p 的百位数是 x ,十位数是 y ,个位数是 z ,则 p=100x+10y+z , q+100z+10y+x ,可求出 x=2 , y+z=8 ,即可确定相应的 p 的所有可能性,再求 F ( p )的最大值即可
【详解】
解:( 1 )设四位数 a 的百位上数字是 m ,十位上数字为 n ,
∵F ( a ) =0 ,
∴ 个位数字是 0 ,
∴m+n=5 ,
∵ 数 千位上的数字减 1 ,个位上的数字加 1 ,得到数 ,
∴b 的千位上数字是 4 ,个位数字是 1 ,
∵
∴mn=6
又 ∵m≥n
∴m=3 , n=2 ,
∴a 是 5320
即答案为 5320
( 2 )设 p 的百位数是 x ,十位数是 y ,个位数是 z ,
则 p=100x+10y+z , q+100z+10y+x ,
∴10p+q=1001x+110y+110z
又 ∵x+y+z=10
∴1001x+110y+110z=1001x+110 ( 10-x ) =2882
∴x=2 , y+z=8
∴p 可以为 208 , 217 , 226 , 235 , 244 , 253 , 262 , 271 , 280
F ( 244 ) =32
∴F ( p )的最大值为 32
【点睛】
本题主要要理解题意,从题目中获取信息,列出正确的代数式,再由数的特点求解是解题的关键.
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