相传，大禹治水时， “ 洛水 ” 中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称 “ 洛书 ” ，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的 3 倍．如图 1 ，是由 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 所组成的一个三阶幻方，其幻和为 15 ，中心数为 5

（ 1 ）如图 2 所示，则幻和＝ ；

（ 2 ）如图 2 所示，在（ 1 ）的条件下，若 a ＝ 3 ， c ＝ 9 ，求 b 的值；

（ 3 ）如图 3 所示：

① 若 A ＝ 2a ， B ＝ 7a ＋ 5 ， C ＝ 6a ﹣ 2 ， E ＝ 5a ＋ 1 ，求整式 D ；

② 若 A ＝ a ＋ 1 ， B ＝ 3a ﹣ 2 ， D ＝﹣ 2ka ﹣ 1 ，是否存在 k 的值使得三阶幻方中九个整式的和为定值，若存在，求出 k 的值及定值，若不存在，说明理由．

答案

（ 1 ） 24 ；（ 2 ） 4 ；（ 3 ） ①9a ﹣ 1 ； ② 存在 k 的值使得三阶幻方中九个整式的和为定值，其中 k ＝ 2.5 ，定值为 ．

【分析】

（ 1 ）根据题意，可知图 2 中幻和为 8×3 ，然后计算即可；

（ 2 ）根据题意和图 2 中的数据，可以计算出左上角和右上角的数字，然后即可计算出 b 的值；

（ 3 ） ① 根据题意和 A ＝ 2a ， B ＝ 7a ＋ 5 ， C ＝ 6a ﹣ 2 ， E ＝ 5a ＋ 1 ，可以用 a 的代数式表示出整式 D ；

② 根据题意和幻方的定义，可以求得 k 的值及定值，本题得以解决．

【详解】

解：（ 1 ）由题意可得，

幻和＝ 8×3 ＝ 24 ，

故答案为： 24 ；

（ 2 ）由（ 1 ）知幻和为 24 ，

∵a ＝ 3 ， c ＝ 9 ，

∴ 左上角的数字为： 24 ﹣ c ﹣ 8 ＝ 24 ﹣ 9 ﹣ 8 ＝ 7 ，

右上角的数字为： 24 ﹣ a ﹣ 8 ＝ 24 ﹣ 3 ﹣ 8 ＝ 13 ，

∴7 ＋ 13 ＋ b ＝ 24 ，

∴b ＝ 4 ；

（ 3 ） ①∵A ＝ 2a ， B ＝ 7a ＋ 5 ， C ＝ 6a ﹣ 2 ，

∴ 幻和为： 2a ＋ 7a ＋ 5 ＋ 6a ﹣ 2 ＝ 15a ＋ 3 ，

∵C ＝ 6a ﹣ 2 ， E ＝ 5a ＋ 1 ，

∴G ＝ 15a ＋ 3 ﹣（ 6a ﹣ 2 ）﹣（ 5a ＋ 1 ）＝ 4a ＋ 4 ，

∵A ＝ 2a ， A ＋ G ＋ D ＝ 15a ＋ 3 ，

∴D ＝（ 15a ＋ 3 ）﹣ A ﹣ G ＝（ 15a ＋ 3 ）﹣ 2a ﹣（ 4a ＋ 4 ）＝ 9a ﹣ 1 ；

② 设 E ＝ x ，则幻和为 3x ，

∵A ＝ a ＋ 1 ， B ＝ 3a ﹣ 2 ，

∴C ＝ 3x ﹣（ a ＋ 1 ）﹣（ 3a ﹣ 2 ）＝ 3x ﹣ 4a ＋ 1 ，

∵C ＋ E ＋ G ＝ 3x ，

∴G ＝ 3x ﹣ C ﹣ E ＝ 3x ﹣（ 3x ﹣ 4a ＋ 1 ）﹣ x ＝﹣ x ＋ 4a ﹣ 1 ，

∵A ＋ D ＋ G ＝ 3x ，

∴D ＝ 3x ﹣ A ﹣ G ＝ 3x ﹣（ a ＋ 1 ）﹣（﹣ x ＋ 4a ﹣ 1 ）＝ 4x ﹣ 5a ，

∵D ＝﹣ 2ka ﹣ 1 ，

∴ ﹣ 2ka ﹣ 1 ＝ 4x ﹣ 5a ，

∴ ﹣ 2k ＝﹣ 5 ，﹣ 1 ＝ 4x ，

∴k ＝ 2.5 ， x ＝﹣ ，

∴ 当 k ＝ 2.5 时，九个整式的和为 9x ＝﹣ ，

即存在 k 的值使得三阶幻方中九个整式的和为定值，其中 k ＝ 2.5 ，定值为﹣ ．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用、幻方、整式，解答本题的关键是明确题意，利用整式的知识和方程的知识解答．