(新知理解)
如图 1 ,点 在线段 上,点 将线段 分成两条不相等的线段 , ,如果较长线段 是较短线段 的 倍,即 ,则称点 是线段 的一个圆周率点,此时,线段 , 称为互为圆周率伴侣线段.由此可知,一条线段 的圆周率点有两个,一个在线段 中点的左侧 ( 如图中点 ) ,另一个在线段 中点的右侧.
(1) 如图 1 ,若 ,则 ;若点 是线段 的不同于点 的圆周率点,则 ( 填 “ ” 或 “ ”) ;
(2) 如果线段 ,点 是线段 的圆周率点,则 ;
(问题探究)
(3) 如图 2 ,现有一个直径为 1 个单位长度的圆片,将圆片上的某点与数轴上表示 1 的点重合,并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周,该点到达点 的位置.若点 是线段 的两个不同的圆周率点,求线段 的长;
(问题解决)
(4) 如图 3 ,将直径为 1 个单位长度的圆片上的某点与数轴上表示 2 的点重合,并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周,该点到达点 的位置.若点 在射线 上,且线段 与以 、 中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段,请你直接写出点 所表示的数.
( 1 ) 3π+3 , = ;( 2 ) 5 或 5 π ;( 3 ) MN 长为 π-1 ;( 4 ) D 点表示的数为: 或 或 或
【分析】
( 1 )根据圆周率伴侣线段定义得出线段之间的关系,代值求解,根据定义分别得出 AC 、 BD 与 AB 的关系判断 AC 与 BD 的关系;( 2 )根据圆周率点定义,分两种情况,得到 AM 与 BM 的关系,代值求解;( 3 )设 OM=x ,由定义得 MC=πx ,根据 OC=OM+MC 列方程求解;( 4 )根据点 D 是线段 OE 的圆周率点和点 E 是线段 OD 的圆周率点,得出四种线段之间的关系,代值求解 .
【详解】
解:( 1 ) ∵AC=3 , BC=π AC ,
∴AB=AC+BC=3π+3 ;
∵ 点 D 、 C 都是是线段 的圆周率点且不重合,
∴BC=π AC , AD=πBD ,
∴AB=AC+BC=BD+AD ,
∴AB=AC+π AC , AB=BD+πBD ,
∴AC= , BD= ,
∴AC=BD.
( 2 )设线段 AB 中点为 C ,当点 M 在线段 AC 之间时,如图 1
∵ 点 M 是线段 的圆周率点,
∴BM=π AM ,
∵ ,
∴AM+π AM=5+5π
∴AM=5 ;
当点 M 在线段 BC 之间时,如图 2
∵ 点 M 是线段 的圆周率点,
∴AM=π BM ,
∵ ,
∴π BM+BM=5+5π ,
∴BM=5 ,
∴AM=5 π.
综上所述, AM 长为 5 或 5 π.
( 3 )如图,由题意可知, C 点表示的数是 π+1 ,
M 、 N 均为线段 OC 的圆周率点,设 M 点离 O 点近,且 OM=x ,
∴MC=πOM=πx
∴x+πx=π+1 ,
解得 x=1 ,
∴OM=1 ,
∴OM=CN=1
∴MN=OC-OM-CN=π+1-1-1=π-1.
( 4 )根据题意得点 C 表示的数为 π+2 ,设点 D 表示的数为 x ,
如图 1 ,若 OD=πDE ,
∴x=π(π+2-x) ,
解得, x= ,
∴D 点表示的数为: ;
如图 2 ,若 DE=πOD ,
∴ π+2-x= πx ,
解得, x= ,
∴D 点表示的数为: ;
如图 3 ,若 OE=πDE ,
∴π+2=π(x-π-2) ,
解得, x= ,
∴D 点表示的数为: ;
如图 4 ,若 DE=πOE ,
∴x-π-2=π(π+2) ,
解得, x= ,
∴D 点表示的数为: .
综上所述: D 点表示的数为: 或 或 或 .
【点睛】
本题主要考查了新定义题目,根据定义,借助数轴和一元一次方程求解,读懂题目,用新思路解决问题是解答此题的关键 .
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