如图,射线 上有三点 ,满足 cm , cm , cm. 点 从点 出发,沿 方向以 2cm/ 秒的速度匀速运动,点 从点 出发在线段 上向点 匀速运动,两点同时出发,当点 运动到点 时,点 停止运动 .
(1) 若点 运动速度为 3cm/ 秒,经过多长时间 两点相遇 ?
(2) 当 时,点 运动到的位置恰好是线段 的中点,求点 的运动速度 ;
(3) 自点 运动到线段 上时,分别取 和 的中点 ,求 的值 .
( 1 ) 18 秒相遇; (2)Q 的运动速度为 11cm/s 或者 cm/s ; (3)2.
【分析】
( 1 )设运动时间为 t 秒,先求出 OC=90 ,根据速度乘以时间得到 OP=2t , CQ=3t ,再根据相遇公式路程和等于距离列方程解答即可;
( 2 )先求出线段 OB 的长度得到中点 Q 所表示的数,再根据 只存在两种情况,求出点 P 的运动时间即点 Q 的运动时间即可得到速度;
( 3 )分别求出 OB 、 AP 及 EF 的长,即可代入计算得到答案 .
【详解】
( 1 )设运动时间为 t 秒,此时 OP=2t , OQ=3t ,
∵ cm , cm , cm ,
∴OC=OA+AB+BC=90cm ,
∴2t+3t=90 ,
t=18 ,
∴ 经过 18 秒 两点相遇;
( 2 ) ∵ 点 运动到的位置恰好是线段 的中点, OB=40+30=70 ,
∴ 点 Q 表示的数是 35 ,此时 CQ=90-35=55 ,
由 ,可分两种情况:
① 当点 P 在 OA 上时,得 PA=AB=30 ,此时 OP=OA-PA=10 ,
点 P 运动的时间为 s ,
∴ 点 Q 的运动速度 = cm/s ;
② 当点 P 在 AB 上时, AB=3PA , ∴PA=10 ,此时 OP=OA+PA=50 ,
点 P 的运动时间是 s ,
∴ 点 Q 的运动速度 = cm/s ,
综上,点 的运动速度是 11cm/s 或者 cm/s ;
( 3 )设运动时间是 a 秒,此时 OP=2a , AP=2a-40 ,
∵ 点 E 是 OP 的中点,
∴OE=a ,
∵ 点 F 是 AB 的中点, AB=30 ,
∴BF=15 ,
∴EF=OB-OE-BF=70-a-15=55-a ,
∴ = .
【点睛】
此题考查数轴上的点的运动问题,数轴上两点之间的距离公式,两点的中点公式,在点运动过程中注意分情况解决问题的方法 .
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