如图，矩形 ABCD 中， AB ＝ 3 ， BC ＝ 4 ，点 E 是 A 边上一点，且 AE ＝ ，点 F 是边 BC 上的任意一点，把 △ BEF 沿 EF 翻折，点 B 的对应点为 G ，连接 AG ， CG ，则四边形 AGCD 的面积的最小值为 _____ ．
【收录时间】
2021-05-06
【知识点】
直射、射线、线段
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【分析】
根据矩形 ABCD 中， AB ＝ 3 ， BC ＝ 4 ，可得 AC ＝ 5 ，由 AE ＝ 可得点 F 是边 BC 上的任意位置时，点 C 始终在 AC 的下方，设点 G 到 AC 的距离为 h ，要使四边形 AGCD 的面积的最小，即 h 最小．所以点 G 在以点 E 为圆心， BE 为半径的圆上，且在矩形 ABCD 的内部．过点 E 作 EH ⊥ AC ，交圆 E 于点 G ，此时 h 最小．根据锐角三角函数先求得 h 的值，再分别求得三角形 ACD 和三角形 ACG 的面积即可得结论．
【详解】
解：如图，连接 AC ，
在矩形 ABCD 中， AB ＝ 3 ， BC ＝ 4 ，
∠ B ＝ ∠ D ＝ 90° ，
∴ AC ＝ 5 ，
∵ AB ＝ 3 ， AE ＝ ，
∴点 F 是边 BC 上的任意位置时，点 G 始终在 AC 的下方，
设点 G 到 AC 的距离为 h ，
S 四边形 AGCD ＝ S △ ACD +S △ ACG
＝ 3×4+
×5h ，
＝ 6+ h ．
要使四边形 AGCD 的面积的最小，即 h 最小．
∵点 G 在以点 E 为圆心， BE 为半径的圆上，且在矩形 ABCD 的内部．
过点 E 作 EH ⊥ AC ，交圆 E 于点 G ，此时 h 最小．
在 Rt △ ABC 中， sin ∠ BAC ＝ ，
在 Rt △ AEH 中， AE ＝ ，
sin ∠ BAC ＝ ，
解得 EH ＝ AE ＝
，
EG ＝ BE ＝ AB ﹣ AE ＝ 3 ﹣ ，
∴ h ＝ EH ﹣ EG ＝ ﹣（ 3 ﹣
）＝
﹣ 3 ．
∴ S 四边形 AGCD ＝ 6+ × （
﹣ 3 ）
＝ ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了翻折变换，解决本题的关键是确定满足条件的点 G 的位置，运用相似、锐角三角函数等知识解决问题．
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2021-05-06
填空题
很难
811
考点梳理：
根据可圈可点权威老师分析，试题 "
如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是A边上一点,且Aξ=√(3),点F是边BC上的任意一点,把B∈P沿EF翻折,点B的对应点为G,连接AG,CG,则四边形AGCD的面积的最小值为
" 主要考察你对
直线，线段，射线
等考点的理解。关于这些考点的"梳理资料"如下:
◎ 直线，线段，射线的定义
基本概念：
直线：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。一条直线可以用一个小写字母表示。
线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。
射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。
注意：
①线和射线无长度，线段有长度。
②直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点。
直线：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。一条直线可以用一个小写字母表示。
线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。
射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。
注意：
①线和射线无长度，线段有长度。
②直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点。
◎ 直线，线段，射线的知识扩展
1、基本概念：
直线：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。一条直线可以用一个小写字母表示。
线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。
射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。
注意：（1）线和射线无长度，线段有长度。
（2）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点。
2、基本性质：
直线的性质：过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线。
线段的性质：两点之间线段最短。
直线：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。一条直线可以用一个小写字母表示。
线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。
射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。
注意：（1）线和射线无长度，线段有长度。
（2）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点。
2、基本性质：
直线的性质：过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线。
线段的性质：两点之间线段最短。
◎ 直线，线段，射线的特性
直线、射线、线段的基本性质：
| 图形 | 表示法 | 端点 | 延长线 | 能否度量 | 基本性质 | |
| 直线 | 没有端点的一条线 | 一条线, 不要端点 |
无 | 可以向两边无限延长 | 否 | 两端都没有端点,可以无限延长,不可测量的线 |
| 射线 | 只有一个端点的一条线 | 一条线, 只有一边有端点 |
一个 | 可以向一边无限延长 | 否 | 一端有端点,可以向一边无限延长,不可测量的线 |
| 线段 | 两边都有端点的一条线 | 一条线,两边都有端点 | 两个 | 不能延长 | 能 | 两端都有端点,不能延长,可测量的线 |
◎ 直线，线段，射线的知识对比
直线、射线、线段区别：
直线没有端点,2边可无限延长；
射线有1端有端点，另一端可无限延长；
线段,有2个端点,而2个端点间的距离就是这条线段的长度。
直线除了“直”这个特点外，还有一个很重要的特点，那就是它可以向两个方向无限延伸，永远没有尽头，所以，直线是不可能度量的。因此，在画直线时，要画出没有端点的直线，表示可以无限延伸；
射线只有一个端点，可以向一个方向无限延伸，也永远没有尽头。所以，射线也是不可能度量的。直线上任意的一点可以把这条直线分成两条方向相反的射线，因此，射线是直线的一部分。虽然射线是直线的一部分，但由于它们都是不能度量的，所以，它们之间没有长短可以比较；
线段有两个端点，它有一定的长度，可以度量。线段也是直线的一部分。
直线没有端点,2边可无限延长；
射线有1端有端点，另一端可无限延长；
线段,有2个端点,而2个端点间的距离就是这条线段的长度。
直线除了“直”这个特点外，还有一个很重要的特点，那就是它可以向两个方向无限延伸，永远没有尽头，所以，直线是不可能度量的。因此，在画直线时，要画出没有端点的直线，表示可以无限延伸；
射线只有一个端点，可以向一个方向无限延伸，也永远没有尽头。所以，射线也是不可能度量的。直线上任意的一点可以把这条直线分成两条方向相反的射线，因此，射线是直线的一部分。虽然射线是直线的一部分，但由于它们都是不能度量的，所以，它们之间没有长短可以比较；
线段有两个端点，它有一定的长度，可以度量。线段也是直线的一部分。
◎ 直线，线段，射线的知识点拨
各种图形表示方法：
直线：一个小写字母或两个大写字母，但前面必须加“直线”两字，如：直线l，直线m；直线AB，直线CD。
例：
直线l；直线AB。
射线：一个小写字母或端点的大写字母。和射线上的一个大写字母，前面必须加“射线”两字。如：射线a；射线OA。
例：
射线AB。
线段：用表示端点的大写字母表示，如线段AB；用一个小写字母表示，如线段a。
例：
线段AB；线段a 。
直线：一个小写字母或两个大写字母，但前面必须加“直线”两字，如：直线l，直线m；直线AB，直线CD。
例：
直线l；直线AB。射线：一个小写字母或端点的大写字母。和射线上的一个大写字母，前面必须加“射线”两字。如：射线a；射线OA。
例：
射线AB。线段：用表示端点的大写字母表示，如线段AB；用一个小写字母表示，如线段a。
例：
线段AB；线段a 。◎ 直线，线段，射线的教学目标
1、了解直线、射线、线段的联系和区别，掌握它们的表示方法。
2、了解两点确定一条直线的性质，并能初步应用。
3、会用几何语句描述几何图形，能根据几何语句画出相应的几何图形。
4、通过探索、发现，培养类比的数学思想，锻炼逻辑思维能力。
5、在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值，同时培养善于发现积极思考、合作学习的学习态度。
2、了解两点确定一条直线的性质，并能初步应用。
3、会用几何语句描述几何图形，能根据几何语句画出相应的几何图形。
4、通过探索、发现，培养类比的数学思想，锻炼逻辑思维能力。
5、在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值，同时培养善于发现积极思考、合作学习的学习态度。
◎ 直线，线段，射线的考试要求
能力要求：知道
课时要求：40
考试频率：选考
分值比重：2
课时要求：40
考试频率：选考
分值比重：2