如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ C=90°， ∠ A=30°，AB=8 ，点 P 从点 A 出发，沿折线 AB﹣BC 向终点 C 运动，在 AB 上以每秒 8 个单位长度的速度运动，在 BC 上以每秒 2 个单位长度的速度运动，点 Q 从点 C 出发，沿 CA 方向以每秒 个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点 P 停止时，点 Q 也随之停止．设点 P 运动的时间为 t 秒．
（ 1 ）求线段 AQ 的长；（用含 t 的代数式表示）
（ 2 ）当点 P 在 AB 边上运动时，求 PQ 与 △ ABC 的一边垂直时 t 的值；
（ 3 ）设 △ APQ 的面积为 S ，求 S 与 t 的函数关系式；
（ 4 ）当 △ APQ 是以 PQ 为腰的等腰三角形时，直接写出 t 的值．
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2021-05-06
【知识点】
函数
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（ 1）4 ﹣
t；（2 ）当点 P 在 AB 边上运动时， PQ 与 △ ABC 的一边垂直时 t 的值是 t=0 或
或
；（ 3）S 与 t 的函数关系式为： S=
；（ 4）t 的值为
或
．
【解析】
分析 ： （ 1）根据勾股定理求出AC的长，然后由AQ=AC-CQ求解即可；
（ 2） 当点 P 在 AB 边上运动时， PQ 与 △ ABC 的一边垂直，有三种情况：当 Q 在 C 处， P 在 A 处时， PQ⊥BC； 当 PQ⊥AB 时 ； 当 PQ⊥AC 时 ； 分别求解即可 ；
（ 3） 当 P 在 AB 边上时，即 0≤t≤1 ，作 PG⊥AC 于 G ，或当 P 在边 BC 上时，即 1＜t≤3， 分别根据三角形的面积求函数的解析式即可 ；
（ 4） 当 △APQ是以PQ为腰的等腰三角形时，有两种情况：①当P在边AB上时，作PG⊥AC于G，则AG=GQ ， 列方程求解 ； ②当P在边AC上时， AQ=PQ，根据勾股定理求解 .
详解： （ 1 ）如图 1，
Rt△ABC 中， ∠ A=30°，AB=8，
∴BC= AB=4，
∴AC= ，
由题意得： CQ= t，
∴AQ=4 ﹣
t；
（ 2 ）当点 P 在 AB 边上运动时， PQ 与 △ ABC 的一边垂直，有三种情况：
①当 Q 在 C 处， P 在 A 处时， PQ⊥BC ，此时 t=0；
②当 PQ⊥AB 时，如图 2，
∵AQ=4 ﹣
t，AP=8t，∠A=30°，
∴cos30°= ，
∴ ，
t= ；
③当 PQ⊥AC 时，如图 3，
∵AQ=4 ﹣
t，AP=8t，∠A=30°，
∴cos30°= ，
∴
t= ；
综上所述，当点 P 在 AB 边上运动时， PQ 与 △ ABC 的一边垂直时 t 的值是 t=0 或 或
；
（ 3 ）分两种情况：
①当 P 在 AB 边上时，即 0≤t≤1 ，如图 4 ，作 PG⊥AC 于 G，
∵∠A=30°，AP=8t，∠AGP=90°，
∴PG=4t，
∴S △APQ = AQ•PG=
（ 4
﹣
t）•4t=﹣2
t 2 +8
t；
②当 P 在边 BC 上时，即 1＜t≤3 ，如图 5，
由题意得： PB=2（t﹣1），
∴PC=4﹣2（t﹣1）=﹣2t+6，
∴S △APQ = AQ•PC=
（ 4
﹣
t）（﹣2t+6）=
t 2
；
综上所述， S 与 t 的函数关系式为： S= ；
（ 4 ）当 △ APQ 是以 PQ 为腰的等腰三角形时，有两种情况：
①当 P 在边 AB 上时，如图 6，
AP=PQ ，作 PG⊥AC 于 G ，则 AG=GQ，
∵∠A=30°，AP=8t，∠AGP=90°，
∴PG=4t，
∴AG=4 t，
由 AQ=2AG 得： 4 ﹣
t=8
t，t=
，
②当 P 在边 AC 上时，如图 7，AQ=PQ，
Rt△PCQ 中，由勾股定理得： CQ 2 +CP 2 =PQ 2 ，
∴ ，
t= 或﹣
（舍），
综上所述， t 的值为 或
．
点睛：此题主要考查了三角形中的动点问题，用到勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，二次函数等知识，是一道比较困难的综合题，关键是合理添加辅助线，构造合适的方程求解 .
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2021-05-06
解答题
偏难
811
考点梳理：
根据可圈可点权威老师分析，试题 "
如图,在Bt∠ABC中,∠C=90^∘,∠A=30^∘,AB=8,点P从点A出发,沿折线AB-BC向终点C运动,在AB上以每秒8个单位长度的速度运动,在BC上以每秒2个单位长度的速度运动,点Q从点C出
" 主要考察你对
函数的定义
等考点的理解。关于这些考点的"梳理资料"如下:
◎ 函数的定义的定义
函数的定义：
一般地，在一个变化过程中，如果有两个自变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
对函数概念的理解，主要抓住以下三点：
①有两个变量；
②一个变量的每一个数值随着另一个变量的数值的变化而变化；
③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。
例如：y=±x，当x=1时，y有两个对应值，所以y=±x不是函数关系。对于不同的自变量x的取值，y的值可以相同，例如，函数：y=|x|，当x=±1时，y的对应值都是1。
一般地，在一个变化过程中，如果有两个自变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
对函数概念的理解，主要抓住以下三点：
①有两个变量；
②一个变量的每一个数值随着另一个变量的数值的变化而变化；
③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。
例如：y=±x，当x=1时，y有两个对应值，所以y=±x不是函数关系。对于不同的自变量x的取值，y的值可以相同，例如，函数：y=|x|，当x=±1时，y的对应值都是1。
◎ 函数的定义的知识扩展
函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个自变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
◎ 函数的定义的特性
理解函数的概念应扣住下面三点：
（1）函数的概念由三句话组成：“两个变量”，“x的每一个值”，“y有惟一确定的值”；
（2）判断两个变量是否有函数关系不仅看它们之间是否有关系式存在，更重要地是看对于x的每一个确定的值。y是否有惟一确定的值和它对应；（3）函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
函数的表示方法：
（1）解析法：两个变量之间的关系有时可以用含有这两个变量及数学运算符号的等式来表示，这种表示方法叫做解析法．
（2）列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表格来表示函数关系，这种表示方法叫做列表法．
（3）图象法：用图象表示函数关系的方法叫做图象法．
◎ 函数的定义的知识点拨
函数的判定：
①判断两个变量是否有函数关系，不仅看他们之间是否有关系式存在，更重要的是看对于x的每个确定的值，y是否有唯一确定的值和他对应。
②函数不是数，他是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
①判断两个变量是否有函数关系，不仅看他们之间是否有关系式存在，更重要的是看对于x的每个确定的值，y是否有唯一确定的值和他对应。
②函数不是数，他是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
◎ 函数的定义的教学目标
1、通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
2、了解构成函数的要素，进一步巩固初中常见函数(一次函数、二次函数、反比例函数)的图像、定义域、值域。
2、了解构成函数的要素，进一步巩固初中常见函数(一次函数、二次函数、反比例函数)的图像、定义域、值域。
◎ 函数的定义的考试要求
能力要求：了解
课时要求：30
考试频率：少考
分值比重：2
课时要求：30
考试频率：少考
分值比重：2