如图，在等边 △ ABC 中， BF 是 AC 边上的中线，点 D 在 BF 上，连接 AD ，在 AD 的右侧作等边 △ ADE ，连接 EF ，当 △ AEF 周长最小时， ∠ CFE 的大小是 ( )
A ． 30° B ． 45° C ． 60° D ． 90°
【收录时间】
2021-05-06
【知识点】
直射、射线、线段
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D
【解析】
分析：首先证明点 E 在射线 CE 上运动（ ∠ ACE=30°），
因为 AF 为定值，所以当 AE+EF 最小时， △ AEF 的周长最小，
作点 A 关于直线 CE 的对称点 M ，连接 FM 交 CE 于 E ′，此时 AE′+FE ′的值最小 ，
根据等边三角形的判定和性质即可求出 ∠ CFE 的大小 ．
详解： ∵△ABC，△ADE 都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AF=CF，
∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，
∴点 E 在射线 CE 上运动（ ∠ ACE=30°），
作点 A 关于直线 CE 的对称点 M ，连接 FM 交 CE 于 E ′，此时 AE′+FE ′的值最小，
∵CA=CM，∠ACM=60°，
∴△ACM 是等边三角形，
∵AF=CF，
∴FM⊥AC，
∴∠CFE′=90°，
故选 D．
点睛：本题考查轴对称 —— 最短距离问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点 E 在射线 CE 上运动（ ∠ ACE=30 °），本题难度比较大，属于中考选择题中的压轴题．
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2021-05-06
选择题
偏难
811
考点梳理：
根据可圈可点权威老师分析，试题 "
如图,在等边ABC中,BF是AC边上的中线,点D在BF上,连接AD,在AD的右侧作等边AD∈,连接EF,当A∈[3,+∞)周长最小时,∠CB∈的大小是()A.30^∘B.45^∘C.80^∘D.90^
" 主要考察你对
直线，线段，射线
等考点的理解。关于这些考点的"梳理资料"如下:
◎ 直线，线段，射线的定义
基本概念：
直线：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。一条直线可以用一个小写字母表示。
线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。
射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。
注意：
①线和射线无长度，线段有长度。
②直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点。
直线：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。一条直线可以用一个小写字母表示。
线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。
射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。
注意：
①线和射线无长度，线段有长度。
②直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点。
◎ 直线，线段，射线的知识扩展
1、基本概念：
直线：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。一条直线可以用一个小写字母表示。
线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。
射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。
注意：（1）线和射线无长度，线段有长度。
（2）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点。
2、基本性质：
直线的性质：过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线。
线段的性质：两点之间线段最短。
直线：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。一条直线可以用一个小写字母表示。
线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。
射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。
注意：（1）线和射线无长度，线段有长度。
（2）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点。
2、基本性质：
直线的性质：过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线。
线段的性质：两点之间线段最短。
◎ 直线，线段，射线的特性
直线、射线、线段的基本性质：
| 图形 | 表示法 | 端点 | 延长线 | 能否度量 | 基本性质 | |
| 直线 | 没有端点的一条线 | 一条线, 不要端点 |
无 | 可以向两边无限延长 | 否 | 两端都没有端点,可以无限延长,不可测量的线 |
| 射线 | 只有一个端点的一条线 | 一条线, 只有一边有端点 |
一个 | 可以向一边无限延长 | 否 | 一端有端点,可以向一边无限延长,不可测量的线 |
| 线段 | 两边都有端点的一条线 | 一条线,两边都有端点 | 两个 | 不能延长 | 能 | 两端都有端点,不能延长,可测量的线 |
◎ 直线，线段，射线的知识对比
直线、射线、线段区别：
直线没有端点,2边可无限延长；
射线有1端有端点，另一端可无限延长；
线段,有2个端点,而2个端点间的距离就是这条线段的长度。
直线除了“直”这个特点外，还有一个很重要的特点，那就是它可以向两个方向无限延伸，永远没有尽头，所以，直线是不可能度量的。因此，在画直线时，要画出没有端点的直线，表示可以无限延伸；
射线只有一个端点，可以向一个方向无限延伸，也永远没有尽头。所以，射线也是不可能度量的。直线上任意的一点可以把这条直线分成两条方向相反的射线，因此，射线是直线的一部分。虽然射线是直线的一部分，但由于它们都是不能度量的，所以，它们之间没有长短可以比较；
线段有两个端点，它有一定的长度，可以度量。线段也是直线的一部分。
直线没有端点,2边可无限延长；
射线有1端有端点，另一端可无限延长；
线段,有2个端点,而2个端点间的距离就是这条线段的长度。
直线除了“直”这个特点外，还有一个很重要的特点，那就是它可以向两个方向无限延伸，永远没有尽头，所以，直线是不可能度量的。因此，在画直线时，要画出没有端点的直线，表示可以无限延伸；
射线只有一个端点，可以向一个方向无限延伸，也永远没有尽头。所以，射线也是不可能度量的。直线上任意的一点可以把这条直线分成两条方向相反的射线，因此，射线是直线的一部分。虽然射线是直线的一部分，但由于它们都是不能度量的，所以，它们之间没有长短可以比较；
线段有两个端点，它有一定的长度，可以度量。线段也是直线的一部分。
◎ 直线，线段，射线的知识点拨
各种图形表示方法：
直线：一个小写字母或两个大写字母，但前面必须加“直线”两字，如：直线l，直线m；直线AB，直线CD。
例：
直线l；直线AB。
射线：一个小写字母或端点的大写字母。和射线上的一个大写字母，前面必须加“射线”两字。如：射线a；射线OA。
例：
射线AB。
线段：用表示端点的大写字母表示，如线段AB；用一个小写字母表示，如线段a。
例：
线段AB；线段a 。
直线：一个小写字母或两个大写字母，但前面必须加“直线”两字，如：直线l，直线m；直线AB，直线CD。
例：
直线l；直线AB。射线：一个小写字母或端点的大写字母。和射线上的一个大写字母，前面必须加“射线”两字。如：射线a；射线OA。
例：
射线AB。线段：用表示端点的大写字母表示，如线段AB；用一个小写字母表示，如线段a。
例：
线段AB；线段a 。◎ 直线，线段，射线的教学目标
1、了解直线、射线、线段的联系和区别，掌握它们的表示方法。
2、了解两点确定一条直线的性质，并能初步应用。
3、会用几何语句描述几何图形，能根据几何语句画出相应的几何图形。
4、通过探索、发现，培养类比的数学思想，锻炼逻辑思维能力。
5、在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值，同时培养善于发现积极思考、合作学习的学习态度。
2、了解两点确定一条直线的性质，并能初步应用。
3、会用几何语句描述几何图形，能根据几何语句画出相应的几何图形。
4、通过探索、发现，培养类比的数学思想，锻炼逻辑思维能力。
5、在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值，同时培养善于发现积极思考、合作学习的学习态度。
◎ 直线，线段，射线的考试要求
能力要求：知道
课时要求：40
考试频率：选考
分值比重：2
课时要求：40
考试频率：选考
分值比重：2