将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中,点,点,点B在第一象限,,,点P在边上(点P不与点重合).
(1)如图①,当时,求点P的坐标;
(2)折叠该纸片,使折痕所在的直线经过点P,并与x轴的正半轴相交于点Q,且,点O的对应点为,设.
①如图②,若折叠后与重叠部分为四边形,分别与边相交于点,试用含有t的式子表示的长,并直接写出t的取值范围;
②若折叠后与重叠部分的面积为S,当时,求S的取值范围(直接写出结果即可).
(1)点P的坐标为;(2)①,t的取值范围是;②.
【分析】
(1)过点P作轴,则,因为,,可得,进而得,由30°所对的直角边等于斜边的一半可得,进而用勾股定理可得,点P的坐标即求出;
(2)①由折叠知,,所以,;再根据,即可根据菱形的定义“四条边相等的四边形是菱形”可证四边形为菱形,所以,可得;根据点A的坐标可知,加之,从而有;而在中,,
又因为,所以得,由和的取值范围可得t的范围是;
②由①知,为等边三角形,由(1)四边形为菱形,所以,三角形DCQ为直角三角形,∠Q=60°,从而,,进而可得,又已知t的取值范围是,即可得.
【详解】
解:(1)如图,过点P作轴,垂足为H,则.
,
.
.
在中,,
,.
点P的坐标为.
(2)①由折叠知,,
,.
又,
.
四边形为菱形.
.可得.
点,
.有.
在中,.
,
,其中t的取值范围是.
②由①知,为等边三角形,
∵四边形为菱形,
∴,三角形DCQ为直角三角形,∠Q=60°,
∴,,
∴,
∵,
∴.
,
【点睛】
本题主要考查了折叠问题,菱形的判定与性质,求不规则四边形的面积等知识.
查看答案