如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，求AM的最小值．
【收录时间】
2021-05-05
【知识点】
勾股定理的逆定理
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AM的最小值是1.2.
【解析】
根据勾股定理的逆定理可以证明
；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则
，要求
的最小值，即求
的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形
是矩形，根据矩形的对角线相等，得
，则的最小值即为
的最小值，根据垂线段最短，知：的最小值即等于直角三角形
斜边上的高.
【详解】
∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，即∠BAC＝90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF＝AP．
∵M是EF的中点，
∴
，
当AP⊥BC时，AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高
，
∴AM的最小值是
．
【点睛】
考查了勾股定理的逆定理，本题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质，要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段.
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2021-05-05
解答题
偏难
李超
考点梳理：
根据可圈可点权威老师分析，试题 "
如图,在ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点,PAB于E,PPAC于∈,M为f中点,求AM的最小值
" 主要考察你对
勾股定理的逆定理
等考点的理解。关于这些考点的"梳理资料"如下:
◎ 勾股定理的逆定理的定义
勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a，b，c满足
，那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法。
若c为最长边，且a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形。如果a2+b2>c2，则△ABC是锐角三角形。如果a2+b2<c2，则△ABC是钝角三角形。
由于余弦定理是由勾股定理推出的，故可以用来证明其逆定理而不算循环论证。
勾股定理的逆定理是判定三角形是不是直角三角形的重要方法。
◎ 勾股定理的逆定理的知识扩展
如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理的逆定理是判定三角形是不是直角三角形的重要方法。
，那么这个三角形是直角三角形。 勾股定理的逆定理是判定三角形是不是直角三角形的重要方法。
◎ 勾股定理的逆定理的知识拓展
勾股定理的来源：
毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。
毕达哥拉斯在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
常用勾股数组（3,4,5）；（6,8,10）；（5,12,13）；（8,15,17） ；（7,24,25）
有关勾股定理书籍 ：《数学原理》人民教育出版社；《探究勾股定理》同济大学出版社；《优因培教数学》北京大学出版社；《勾股书籍》新世纪出版社；《九章算术一书》《优因培揭秘勾股定理》江西教育出版社；《几何原本》（原著：欧几里得）人民日报出版社。
毕达哥拉斯树
毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。又因为重复数次后 的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。
直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。利用不等式A2+B2≥2AB可以证明下面的结论：三个正方形之间的三角形，其面积小于等于大正方形面积的四分之一，大于等于一个小正方形面积的二分之一。
毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。
毕达哥拉斯在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
常用勾股数组（3,4,5）；（6,8,10）；（5,12,13）；（8,15,17） ；（7,24,25）
有关勾股定理书籍 ：《数学原理》人民教育出版社；《探究勾股定理》同济大学出版社；《优因培教数学》北京大学出版社；《勾股书籍》新世纪出版社；《九章算术一书》《优因培揭秘勾股定理》江西教育出版社；《几何原本》（原著：欧几里得）人民日报出版社。
毕达哥拉斯树
毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。又因为重复数次后 的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。
直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。利用不等式A2+B2≥2AB可以证明下面的结论：三个正方形之间的三角形，其面积小于等于大正方形面积的四分之一，大于等于一个小正方形面积的二分之一。
◎ 勾股定理的逆定理的教学目标
1、掌握直角三角形的判别条件；
2、熟记一些勾股数；
3、掌握勾股定理的逆定理的探究方法；
4、通过对Rt△判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神。
2、熟记一些勾股数；
3、掌握勾股定理的逆定理的探究方法；
4、通过对Rt△判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神。
◎ 勾股定理的逆定理的考试要求
能力要求：应用
课时要求：100
考试频率：常考
分值比重：5
课时要求：100
考试频率：常考
分值比重：5