如图,在⊙O中,AB为弦,OD⊥AB于D,∠BOD=53°,过A作⊙O的切线交OD延长线于C,则∠C=( )
A.27° B.30° C.37° D.53°
C
【解析】
连接OA,根据等腰三角形的性质得到∠AOC=∠BOD=53°,由切线的性质得到∠OAC=90°,于是得到结论.
【详解】
解:如图,连接OA,
∵OD⊥AB于D,OA=OB,
∴∠AOC=∠BOD=53°,
∵AC是⊙O的切线,
∴∠OAC=90°,
∴∠C=90°﹣53°=37°,
故选:C.
【点睛】
本题考查等腰三角形的三线合一,圆的切线的性质,解题的关键是构造辅助线,利用题目条件以及对应的性质得到结论.
等腰三角形的性质:
1.等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。
2.等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高重合(简写成“等腰三角形的三线合一”)。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
7.等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴,等边三角形有三条对称轴。
8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
9.等腰三角形中腰大于高
10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)
等腰三角形的判定:
1.定义法:在同一三角形中,有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2.判定定理:在同一三角形中,有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称:等角对等边)。
3.顶角的平分线,底边上的中分线,底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。
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