在中,∠C=90°,AC>BC,D是AB的中点.E为直线上一动点,连接DE,过点D作DF⊥DE,交直线BC于点F,连接EF.
(1)如图1,当E是线段AC的中点时,设,求EF的长(用含的式子表示);
(2)当点E在线段CA的延长线上时,依题意补全图2,用等式表示线段AE,EF,BF之间的数量关系,并证明.
(1);(2)图见解析,,证明见解析.
【解析】
(1)先根据中位线定理和线段中点定义可得,,,再根据平行四边形的性质、矩形的判定与性质可得,从而可得,然后利用勾股定理即可得;
(2)如图(见解析),先根据平行线的性质可得,,再根据三角形全等的判定定理与性质可得,,然后根据垂直平分线的判定与性质可得,最后在中,利用勾股定理、等量代换即可得证.
【详解】
(1)∵D是AB的中点,E是线段AC的中点
∴DE为的中位线,且
∴,
∵
∴
∵
∴
∴四边形DECF为矩形
∴
∴
则在中,;
(2)过点B作AC的平行线交ED的延长线于点G,连接FG
∵
∴,
∵D是AB的中点
∴
在和中,
∴
∴,
又∵
∴DF是线段EG的垂直平分线
∴
∵,
∴
在中,由勾股定理得:
∴.
【点睛】
本题考查了中位线定理、矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识点,较难的是题(2),通过作辅助线,构造全等三角形和直角三角形是解题关键.
登录并加入会员可无限制查看知识点解析