如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E在边BC上,BE=BC,AE交OB于点F,过点B作AE的垂线BG交OC于点G,连接GE.
(1)求证:OF=OG.
(2)用含有n的代数式表示tan∠OBG的值.
(3)若BF=2,OF=1,∠GEC=90°,直接写出n的值.
【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AO=BO,AC⊥BD,
∴∠AFO+∠FAO=90°,
∵AE⊥BG,
∴∠BFE+∠FBG=90°,且∠BFE=∠AFO,
∴∠FAO=∠FBG,且OA=OB,∠AOF=∠BOG,
∴△AOF≌△BOG(ASA),
∴OF=OG;
(2)以B为原点,BC所在直线为x轴,AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系,
∵BE=BC,
∴设BC=n,则BE=1,
∴点A(0,n),点E(1,0),点C坐标(n,0),
∴直线AC解析式为:y=﹣x+n,
直线AE解析式为:y=﹣nx+n,
∵BG⊥AE,
∴直线BG的解析式为:y=x,
∴x=﹣x+n,
∴x=,
∴点G坐标(,),
∵点A(0,n),点E(1,0),点C坐标(n,0),
∴BO=n,点O坐标(,),
∴OG=,
∴tan∠OBG=;
(3)∵OB=OF+BF,BF=2,OF=1,
∴OB=3,且OF=OG,OC=OB,BO⊥CO,
∴OC=3,OG=1,BC=3,
∴CG=2,
∵∠GEC=90°,∠ACB=45°,
∴GE=EC=,
∴BE=BC﹣EC=2,
∴,
∴BE=BC=BC,
∴n=.
矩形的性质:
1.矩形的4个内角都是直角;
2.矩形的对角线相等且互相平分;
3.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等;
4.矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形(对称轴是任何一组对边中点的连线),它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
5.矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形的所有性质
6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
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