已知开口向下的抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴的交点为A、B两点（点A在点B的左边），与y轴的交点为C，OC＝3OA
（1）请直接写出该抛物线解析式；
（2）如图，D为抛物线的顶点，连接BD、BC，P为对称轴右侧抛物线上一点．若∠ABD＝∠BCP，求点P的坐标
（3）在（2）的条件下，M、N是抛物线上的动点．若∠MPN＝90°，直线MN必过一定点，请求出该定点的坐标．
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2021-05-05
【知识点】
二次函数与一元二次方程
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【解析】（1）当x＝0时，y＝ax2﹣2ax+3＝3，
∴C（0，3），OC＝3OA＝3，
∴OA＝1，A（﹣1，0），
把点A（﹣1，0）代入抛物线解析式得：a+2a+3＝0，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，若点P在抛物线对称轴右侧且在x轴上方，
过点P作PE∥y轴交BC于点E，PF⊥BC于点F，过点D作DH⊥x轴于点H，
∴∠CFP＝∠BHD＝90°，
∵当y＝﹣x2+2x+3＝0时，解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D（1，4），
∴DH＝4，BH＝3﹣1＝2，
∴BD＝
，
∴Rt△BDH中，sin∠ABD＝
，
∵C（0，3）
∴BC＝
，PC＝
，
设直线BC解析式为y＝kx+b，
∴
，解得：
，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，
设P（p，﹣p2+2p+3）（1＜p＜3），则E（p，﹣p+3），
∴PE＝﹣p2+2p+3﹣（﹣p+3）＝﹣p2+3p，
∵S△BCP＝
PE•OB＝
BC•PF，
∴PF＝
，
∵∠ABD＝∠BCP，
∴Rt△CPF中，sin∠BCP＝
＝sin∠ABD＝
，
∴PF＝PC，
∴PF2＝
PC2，
解得：p1＝﹣1（舍去），p2＝
，
∴﹣p2+2p+3＝
，
∴点P坐标为（，）
如图2，若点P在x轴下方，
∵tan∠ABD＝
＝2＞tan45°，
∴∠ABD＞45°，
∵∠BCP＜∠BOC即∠BCP＜45°，
∴∠ABD与∠BCP不可能相等．
综上所述，点P坐标为（，）；
（3）如图3，过P作PH∥y轴，分别过点M、N作MG⊥PH于G，NH⊥PH于H．
设直线MN的解析式为y＝kx+n，M（x1，y1）、N（x2，y3），
令kx+n＝﹣x2+2x+3，即＝x2+（k﹣2）x+n﹣3＝0，
∴x1+x2＝2﹣k，x1x2＝n﹣3，
∴y1+y2＝k（x1+x2）+2n＝k（2﹣k）+2n，
y1y2＝（kx1+n）（kx2+n）＝k2x1x2+nk（x1+x2）+n2＝﹣3k2+2nk+n2，
∵∠G＝∠MPN＝∠H，
∴△MPG∽△PNH，
∴
，
∵P坐标为（，），
MG＝﹣x1，PH＝y1﹣，HN＝
，GP＝
，
∴
，
整理，得
，
∴
，
解得 k1＝﹣3n+
，k2＝
，
∴直线MN；y＝（﹣3n+）x+n＝（﹣3x+1）n+，过定点（
，
）；
或y＝（）x+n＝（
）n+
，过定点（，）即P点，舍去．
∴直线MN过定点（，）．
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2021-05-05
综合题
中等
如果他知道丶