综合与探究
如图1 ,抛物线
与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,经过点B的直线交y轴于点E(0,2).
(1)求A,B,C三点的坐标及直线BE的解析式.
(2)如图2,过点A作BE的平行线交抛物线于点D,点P是抛物线上位于线段AD下方的一个动点，连接PA,PD,求
面积的最大值.
(3)若(2)中的点P为抛物线上一动点,在x轴上是否存在点Q,使得以A,D,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【收录时间】
2021-04-30
【知识点】
二次函数与一元二次方程
查看答案
加入试题篮
[考点]解一元二次方程,一次函数解析式的确定,解二元一次方程组,二次函数的性质，三角形面积的计算,解一元一次方程,平行四边形的判定与性质,分类讨论思想
[解析] (1) 对于抛物线的解析式,令y =0,可求点A,B的坐标,令x =0可求点C的坐标，由点B,E的坐标可求出直线BE的解析式.
(2)先求出直线AD的解析式，联立直线AD及抛物线的解析式组成方程组,通过解方程组求出点D的坐标.过点P作PF⊥x轴于点F,交AD于点N,过点D作DG⊥x轴于点G,设出点P的坐标,表示出PN的长,进而表示出△APD的面积,利用二次函数的性质可求解.
(3)根据AD为边或对角线，分情况画出图形，根据平行四边形的性质及坐标关系求解.
解:(1)当y =0时，
,解得x1= 4,x2 =-1.
点A在点B的左侧，
A(- 1,0),B(4,0).
当x =0时,y =-2,
C(0,-2). （2分）
设直线BE的解析式为y=k x +b.
把B(4,0),E(0,2)分别代入,得
解得
直线BE的解析式为
.(3分)
(2)由题意可设直线AD的解析式为
.
把A(-1,0)代入,得
,
解得
直线AD的解析式为
(4分)
由
得
点D的坐标为(3,-2). ........ (5分)
如解图1,过点P作PF⊥x轴于点F,交AD于点N,过点D作DG⊥x轴于点G.
解图1 解图2
(6分)
设P(
)则N(
)(7分)
（8分）
当a=1时,△APD的面积最大，最大面积为4. (9分)
(3)存在.点Q的坐标为(2,0)或(-4,0)或
或
(13分)
[提示]如解图2,当四边形AQPD或四边形QAPD是平行四边形时,PD//AQ,则点P的纵坐标为-2.由点P在抛物线上,得
,解得x =0或x=3.此时点P与点C重合,PD=3.则点Q的坐标为(2,0)或(-4,0).
当四边形PADQ是平行四边形时，可得点P的纵坐标为2.由点P在抛物线上,得
,解得
或
.此时点Q的坐标为
或.综上,符合条件的点Q的坐标为(2,0)或(-4,0)或或
单日会员可无限次解锁答案，低至9.9》
2021-04-30
解答题
中等
离别钩
考点梳理：
根据可圈可点权威老师分析，试题 "
综合与探究如图1,抛物线y=1/2x^2-3/2x-2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,经过点B的直线交y轴于点∈(0,2))(1)求A,B,C三点的坐标及直线BE的解析式(2)如图2,过点A作B
" 主要考察你对
一元二次方程根的判别式
等考点的理解。关于这些考点的"梳理资料"如下:
◎ 一元二次方程根的判别式的定义
根的判别式：
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac。
定理1 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＞0
方程有两个不等实数根；
定理2 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△=0
方程有两个相等实数根；
定理3 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＜0
方程没有实数根。
根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
定理4 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根
△＞0；
定理5 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根
△＝0；
定理6 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根
△＜0。
注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b2-4ac。
（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
（3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
（4）根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac。
定理1 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＞0
方程有两个不等实数根；定理2 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△=0
方程有两个相等实数根；定理3 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＜0
方程没有实数根。根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
定理4 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根
△＞0；定理5 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根
△＝0；定理6 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根
△＜0。注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b2-4ac。
（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
（3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
（4）根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。
◎ 一元二次方程根的判别式的知识扩展
1.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac。
定理1 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
定理2 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
定理3 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。
2、根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
定理4 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
定理5 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
定理6 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b2-4ac。
（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
（3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
（4）根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。
3、根的判别式有以下应用：
①不解一元二次方程，判断根的情况。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线
（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。
定理1 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＞0
方程有两个不等实数根；定理2 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△=0
方程有两个相等实数根；定理3 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＜0
方程没有实数根。2、根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
定理4 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根
△＞0；定理5 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根
△＝0；定理6 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根
△＜0。注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b2-4ac。
（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
（3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
（4）根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。
3、根的判别式有以下应用：
①不解一元二次方程，判断根的情况。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线
（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。◎ 一元二次方程根的判别式的特性
根的判别式有以下应用：
①不解一元二次方程，判断根的情况。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。
①不解一元二次方程，判断根的情况。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线
（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。◎ 一元二次方程根的判别式的教学目标
1、能用b2－4ac的值判断一元二次方程根的情况。
2、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用。
3、在理解根的判别式的推导过程中，体会严密的思维过程。
2、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用。
3、在理解根的判别式的推导过程中，体会严密的思维过程。
◎ 一元二次方程根的判别式的考试要求
能力要求：掌握
课时要求：80
考试频率：常考
分值比重：4
课时要求：80
考试频率：常考
分值比重：4