如图，已知二次函数 y＝ax²+bx﹣3a 经过点 A（﹣1，0），C（0，3），与 x 轴交于另一点 B，抛物线的顶点为 D．

（1）   求此二次函数解析式；

（2）   连接 DC、BC、DB，求证：△BCD 是直角三角形；

（3）   在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使得△PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）∵二次函数 y＝ax²+bx﹣3a 经过点 A（﹣1，0）、C（0，3），

∴根据题意，得           ， 解得 ，

∴抛物线的解析式为 y＝﹣x²+2x+3．

（2）由 y＝﹣x²+2x+3＝﹣（x﹣1）²+4 得，D 点坐标为（1，4），

∴CD＝ ＝ ，

BC＝ ＝3 ，

BD＝ ＝2 ，

∵CD²+BC²＝（ ）²+（3 ）²＝20，BD²＝（2 ）²＝20，

∴CD²+BC²＝BD²，

∴△BCD 是直角三角形；

（3）   存在．

y＝﹣x²+2x+3 对称轴为直线 x＝1．

^{①若以 CD 为底边，则 P}1^D＝P1^C，

^{设 P}1 ^{点坐标为（x，y），根据勾股定理可得 P}1^{C2＝x2+（3﹣y）2，P}1^{D2＝（x﹣1）2+（4﹣y）}

2_，

因此 x²+（3﹣y）²＝（x﹣1）²+（4﹣y）²， 即 y＝4﹣x．

^{又 P}1 ^{点（x，y）在抛物线上，}

∴4﹣x＝﹣x²+2x+3， 即 x²﹣3x+1＝0，

^{解得 x}1^{＝                ，x}2^{＝ ＜1，应舍去，}

∴x＝      ，

∴y＝4﹣x＝      ，

^{即点 P}1 ^{坐标为（                     ，）．}

②若以 CD 为一腰，

^{∵点 P}2 ^{在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点 P}2 ^{与点 C 关于直线 x＝1 对称， 此时点 P}2 ^{坐标为（2，3）．}

∴符合条件的点 P 坐标为