如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y＝
（x＞0）经过点D，连接MD，BD．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；
（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？（请直接写出结果）
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2021-04-30
【知识点】
二次函数与一元二次方程
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解；（1）C（0，3）
∵CD⊥y，
∴D点纵坐标是3，
∵D在y＝
上，
∴D（2，3），
将点A（﹣1，0）和D（2，3）代入y＝ax2+bx+3，
∴a＝﹣1，b＝2，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）M（1，4），B（3，0），
作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，
则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；
∴M'（﹣1，4），D'（2，﹣3），
∴M'D'直线的解析式为y＝﹣
x+
∴N（
，0），F（0，）；
（3）设P（0，t），N（r，t），
作△PBD的外接圆N，当⊙N与y轴相切时，∠BPD的度数最大；
∴PN＝ND，
∴r＝
，
∴t2﹣6t﹣4r+13＝0，
易求BD的中点为（
，
），
直线BD的解析式为y＝﹣3x+9，
∴BD的中垂线解析式y＝
x+
，
N在中垂线上，∴t＝
r+，
∴t2﹣18t+21＝0，
∴t＝9+2
或t＝9﹣2，
∵0＜t＜3，
∴t＝9﹣2，
∴P（0，9﹣2）；
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2021-04-30
综合题
中等
hp21szh
考点梳理：
根据可圈可点权威老师分析，试题 "
如图,顶点为M的抛物线y=ay^2+by+3与x轴交于A(-1,0),B两点,与y轴交于点C,过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D,作D∈[0,1)轴,垂足为点E,双曲线y=√(6)(X>0))经过点
" 主要考察你对
一元二次方程根的判别式
等考点的理解。关于这些考点的"梳理资料"如下:
◎ 一元二次方程根的判别式的定义
根的判别式：
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac。
定理1 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＞0
方程有两个不等实数根；
定理2 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△=0
方程有两个相等实数根；
定理3 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＜0
方程没有实数根。
根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
定理4 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根
△＞0；
定理5 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根
△＝0；
定理6 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根
△＜0。
注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b2-4ac。
（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
（3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
（4）根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac。
定理1 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＞0
方程有两个不等实数根；定理2 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△=0
方程有两个相等实数根；定理3 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＜0
方程没有实数根。根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
定理4 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根
△＞0；定理5 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根
△＝0；定理6 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根
△＜0。注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b2-4ac。
（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
（3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
（4）根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。
◎ 一元二次方程根的判别式的知识扩展
1.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac。
定理1 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
定理2 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
定理3 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。
2、根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
定理4 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
定理5 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
定理6 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b2-4ac。
（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
（3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
（4）根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。
3、根的判别式有以下应用：
①不解一元二次方程，判断根的情况。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线
（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。
定理1 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＞0
方程有两个不等实数根；定理2 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△=0
方程有两个相等实数根；定理3 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＜0
方程没有实数根。2、根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
定理4 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根
△＞0；定理5 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根
△＝0；定理6 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根
△＜0。注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b2-4ac。
（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
（3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
（4）根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。
3、根的判别式有以下应用：
①不解一元二次方程，判断根的情况。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线
（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。◎ 一元二次方程根的判别式的特性
根的判别式有以下应用：
①不解一元二次方程，判断根的情况。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。
①不解一元二次方程，判断根的情况。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线
（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。◎ 一元二次方程根的判别式的教学目标
1、能用b2－4ac的值判断一元二次方程根的情况。
2、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用。
3、在理解根的判别式的推导过程中，体会严密的思维过程。
2、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用。
3、在理解根的判别式的推导过程中，体会严密的思维过程。
◎ 一元二次方程根的判别式的考试要求
能力要求：掌握
课时要求：80
考试频率：常考
分值比重：4
课时要求：80
考试频率：常考
分值比重：4