如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED•BC=BO•BE．其中正确结论的个数有（　　）

A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个

答案

A
【解析】

解：连结DO．
∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，
∴∠CBO=90°，
∵AD∥OC，
∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．
又∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠COD=∠COB．
在△COD和△COB中，，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO=∠CBO=90°．
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；故①正确，
∵△COD≌△COB，
∴CD=CB，
∵OD=OB，
∴CO垂直平分DB，
即CO⊥DB，故②正确；
∵AB为⊙O的直径，DC为⊙O的切线，
∴∠EDO=∠ADB=90°，
∴∠EDA+∠ADO=∠BDO+∠ADO=90°，
∴∠ADE=∠BDO，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠EDA=∠DBE，
∵∠E=∠E，
∴△EDA∽△EBD，故③正确；
∵∠EDO=∠EBC=90°，
∠E=∠E，
∴△EOD∽△ECB，
∴，
∵OD=OB，
∴ED•BC=BO•BE，故④正确；
故选：A．
由切线的性质得∠CBO=90°，首先连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO=90°，即可证得直线CD是⊙O的切线，根据全等三角形的性质得到CD=CB，根据线段垂直平分线的判定定理得到即CO⊥DB，故②正确；根据余角的性质得到∠ADE=∠BDO，等量代换得到∠EDA=∠DBE，根据相似三角形的判定定理得到△EDA∽△EBD，故③正确；根据相似三角形的性质得到，于是得到ED•BC=BO•BE，故④正确．
本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键．