如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2），顶点为D，对称轴交x轴于点E．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设M为该抛物线对称轴左侧上的一点，过点M作直线MN∥x轴，交该抛物线于另一点N．是否存在点M，使四边形DMEN是菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接CE（如图2），设点P是位于对称轴右侧该抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q．连接PE，请求出当△PQE与△COE相似时点P的坐标．
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2021-04-28
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二次函数与一元二次方程
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解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将点C（0，﹣2）代入，得：﹣3a＝﹣2，
解
得a＝
，
则抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣
x﹣2；
（2）∵y＝
x2﹣
x﹣2＝（x﹣1）2﹣
，
∴顶点D（1，﹣），即DE＝，
∵四边形
DMEN是菱形，
∴点M的纵坐标为﹣，
则x2﹣x﹣2＝﹣，
解得x＝1±
，
∵M为该抛物线对称轴左侧上的一点，
∴x＜1，
则x＝1﹣，
∴点M坐标为（1﹣，﹣）；
（3）∵C（0，﹣2），E（
1，0），
∴OC＝2，OE＝1，
如图，设P（m， m2﹣m﹣2）（m＞1），
则PQ＝|
m2﹣
m﹣2|，EQ＝m﹣1，
①若△COE∽△PQE，则
＝
，即
＝
，
解得m＝0（舍）或m＝
5或m＝2或m＝﹣3（舍），
此时点P坐标为（5，8）或（2，﹣2）；
②若△COE∽△EQP，则＝
，即
＝
，
解得m＝
（负值舍去）或m＝
，
此时点P的坐标为（，
）或（
，
）；
综上，点P的坐标为（5，8）或（2，﹣2）或（
，
）或（，）．
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2021-04-28
综合题
偏难
csy
考点梳理：
根据可圈可点权威老师分析，试题 "
如图1,已知二次函数y=ay^2+bX+c(a0)的图象与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,2),顶点为D,对称轴交x轴于点E.(1)求该二次函数的解析式;(2)设M为该抛
" 主要考察你对
一元二次方程根的判别式
等考点的理解。关于这些考点的"梳理资料"如下:
◎ 一元二次方程根的判别式的定义
根的判别式：
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac。
定理1 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＞0
方程有两个不等实数根；
定理2 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△=0
方程有两个相等实数根；
定理3 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＜0
方程没有实数根。
根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
定理4 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根
△＞0；
定理5 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根
△＝0；
定理6 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根
△＜0。
注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b2-4ac。
（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
（3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
（4）根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac。
定理1 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＞0
方程有两个不等实数根；定理2 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△=0
方程有两个相等实数根；定理3 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＜0
方程没有实数根。根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
定理4 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根
△＞0；定理5 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根
△＝0；定理6 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根
△＜0。注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b2-4ac。
（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
（3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
（4）根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。
◎ 一元二次方程根的判别式的知识扩展
1.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac。
定理1 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
定理2 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
定理3 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。
2、根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
定理4 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
定理5 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
定理6 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b2-4ac。
（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
（3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
（4）根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。
3、根的判别式有以下应用：
①不解一元二次方程，判断根的情况。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线
（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。
定理1 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＞0
方程有两个不等实数根；定理2 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△=0
方程有两个相等实数根；定理3 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＜0
方程没有实数根。2、根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
定理4 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根
△＞0；定理5 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根
△＝0；定理6 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根
△＜0。注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b2-4ac。
（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
（3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
（4）根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。
3、根的判别式有以下应用：
①不解一元二次方程，判断根的情况。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线
（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。◎ 一元二次方程根的判别式的特性
根的判别式有以下应用：
①不解一元二次方程，判断根的情况。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。
①不解一元二次方程，判断根的情况。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线
（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。◎ 一元二次方程根的判别式的教学目标
1、能用b2－4ac的值判断一元二次方程根的情况。
2、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用。
3、在理解根的判别式的推导过程中，体会严密的思维过程。
2、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用。
3、在理解根的判别式的推导过程中，体会严密的思维过程。
◎ 一元二次方程根的判别式的考试要求
能力要求：掌握
课时要求：80
考试频率：常考
分值比重：4
课时要求：80
考试频率：常考
分值比重：4