如图,抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A,B两点,点A在x轴上,点B在直线x=3上,直线x=3与x轴交于点C
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P从点A出发,以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动,点Q从点C出发,以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动,点P,Q同时出发,当其中一点到达终点时,另一个点也随之停止运动,设运动时间为t秒(t>0).以PQ为边作矩形PQNM,使点N在直线x=3上.
①当t为何值时,矩形PQNM的面积最小?并求出最小面积;
②直接写出当t为何值时,恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上.
【解答】解:(1)由已知,B点横坐标为3
∵A、B在y=x+1上
∴A(﹣1,0),B(3,4)
把A(﹣1,0),B(3,4)代入y=﹣x2+bx+c得
解得
∴抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4
(2)①过点P作PE⊥x轴于点E
∵直线y=x+1与x轴夹角为45°,P点速度为每秒个单位长度
∴t秒时点E坐标为(﹣1+t,0),Q点坐标为(3﹣2t,0)
∴EQ=4﹣3t,PE=t
∵∠PQE+∠NQC=90°
∠PQE+∠EPQ=90°
∴∠EPQ=∠NQC
∴△PQE∽△QNC
∴
∴矩形PQNM的面积S=PQ•NQ=2PQ2
∵PQ2=PE2+EQ2
∴S=2()2=20t2﹣36t+18
当t=时,
S最小=20×()2﹣36×+18=
②由①点C坐标为(3﹣2t,0)P(﹣1+t,t)
∴△PQE∽△QNC,可得NC=2QO=8﹣6t
∴N点坐标为(3,8﹣6t)
由矩形对角线互相平分
∴点M坐标为(3t﹣1,8﹣5t)
当M在抛物线上时
8﹣5t=﹣(3t﹣1)2+3(3t﹣1)+4
解得t=
当点Q到A时,Q在抛物线上,此时t=2
当N在抛物线上时,8﹣6t=4
∴t=
综上所述当t=、或2时,矩形PQNM的顶点落在抛物线上.