如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AD，BC 的中点，连 接 DF，过点 E 作 EH⊥DF，垂足为 H，EH 的延长线交 DC 于点 G．
（1）猜想 DG 与 CF 的数量关系，并证明你的结论；
（2）过点 H 作 MN∥CD，分别交 AD，BC 于点 M，N，若正方形 ABCD 的边长为
10，点 P 是 MN 上一点，求△PDC 周长的最小值．
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2021-04-28
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解：（1）结论：CF=2DG．
理由：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，
∵DE=AE，
∴AD=CD=2DE，
∵EG⊥DF，
∴∠DHG=90°，
∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，
∴∠CDF=∠DEG，
∴△DEG∽△CDF，
∴CF=2DG．
（2）作点 C 关于 NM 的对称点 K，连接 DK 交 MN 于点 P，连接 PC，此时△PDC 的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．
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2021-04-28
解答题
中等
尘缘未了