定义:和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆.
如图所示,已知:⊙I是△ABC的BC边上的旁切圆,E、F分别是切点,AD⊥IC于点D.
(1)试探究:D、E、F三点是否同在一条直线上?证明你的结论.
(2)设AB=AC=5,BC=6,如果△DIE和△AEF的面积之比等于m,,试作出分别以为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程.
解:(1)结论:D、E、F三点是同在一条直线上.(1分)
证明:分别延长AD、BC交于点K,
由旁切圆的定义及题中已知条件得:AD=DK,AC=CK,
再由切线长定理得:AC+CE=AF,BE=BF,(3分)[来源:Zxxk.Com]
∴KE=AF.∴,
由梅涅劳斯定理的逆定理可证,D、E、F三点共线,
即D、E、F三点共线.(3分)
(2)∵AB=AC=5,BC=6,
∴A、E、I三点共线,CE=BE=3,AE=4,
连接IF,则△ABE∽△AIF,△ADI∽△CEI,A、F、I、D四点共圆.(2分)
设⊙I的半径为r,则:,
∴,即,,
∴由△AEF∽△DEI得:,,∴.(4分)
∴,
因此,由韦达定理可知:分别以为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程是6x2﹣13x+6=0.(3分)
相似三角形的判定:
1.基本判定定理
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似。)
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似。)
(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等),那么这两个三角形相似。
2.直角三角形判定定理
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。
3.一定相似:
(1).两个全等的三角形
(全等三角形是特殊的相似三角形,相似比为1:1)
(2).两个等腰三角形
(两个等腰三角形,如果其中的任意一个顶角或底角相等,那么这两个等腰三角形相似。)
(3).两个等边三角形
(两个等边三角形,三个内角都是60度,且边边相等,所以相似)
(4).直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形。
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