如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣
+bx+c的图象经过点A（1，0），且当x=0和x=5时所对应的函数值相等．一次函数y=﹣x+3与二次函数y=﹣+bx+c的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限．
（1）求二次函数y=﹣+bx+c的表达式；
（2）连接AB，求AB的长；
（3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论．
【收录时间】
2021-04-30
【知识点】
二次函数与一元二次方程
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【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据当x=0和x=5时所对应的函数值相等，可得（5，c），根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）联立抛物线与直线，可得方程组，根据解方程组，可得B、C点坐标，根据勾股定理，可得AB的长；
（3）根据线段中点的性质，可得M点的坐标，根据旋转的性质，可得MN与BM的关系，根据平行四边形的判定，可得答案．
【解答】解：（1）当x=0时，y=c，即（0，c）．
由当x=0和x=5时所对应的函数值相等，得（5，c）．
将（5，c）（1，0）代入函数解析式，得
，
解得
．
故抛物线的解析式为y=﹣
x2+
x﹣2；
（2）联立抛物线与直线，得
，
解得
，
，
即B（2，1），C（5，﹣2）．
由勾股定理，得
AB=
=
；
（3）如图：
，
四边形ABCN是平行四边形，
证明：∵M是AC的中点，
∴AM=CM．
∵点B绕点M旋转180°得到点N，
∴BM=MN，
∴四边形ABCN是平行四边形．
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用函数值相等得出点（5，c）是解题关键，又利用了待定系数法求函数解析式；利用解方程组得出交点坐标，又利用了勾股定理；利用了平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
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2021-04-30
综合题
中等
741200
考点梳理：
根据可圈可点权威老师分析，试题 "
如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=1/2x^2x^2a+bX+C的图象经过点A(1,0),且当∵0和T=5时所对应的函数值相等.一次函数y=-λ+3与二次函数y=-1/2x^2+bA+C的图
" 主要考察你对
一元二次方程根的判别式
等考点的理解。关于这些考点的"梳理资料"如下:
◎ 一元二次方程根的判别式的定义
根的判别式：
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac。
定理1 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＞0
方程有两个不等实数根；
定理2 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△=0
方程有两个相等实数根；
定理3 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＜0
方程没有实数根。
根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
定理4 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根
△＞0；
定理5 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根
△＝0；
定理6 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根
△＜0。
注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b2-4ac。
（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
（3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
（4）根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac。
定理1 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＞0
方程有两个不等实数根；定理2 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△=0
方程有两个相等实数根；定理3 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＜0
方程没有实数根。根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
定理4 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根
△＞0；定理5 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根
△＝0；定理6 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根
△＜0。注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b2-4ac。
（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
（3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
（4）根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。
◎ 一元二次方程根的判别式的知识扩展
1.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac。
定理1 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
定理2 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
定理3 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。
2、根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
定理4 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
定理5 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
定理6 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b2-4ac。
（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
（3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
（4）根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。
3、根的判别式有以下应用：
①不解一元二次方程，判断根的情况。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线
（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。
定理1 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＞0
方程有两个不等实数根；定理2 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△=0
方程有两个相等实数根；定理3 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＜0
方程没有实数根。2、根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
定理4 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根
△＞0；定理5 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根
△＝0；定理6 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根
△＜0。注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b2-4ac。
（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
（3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
（4）根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。
3、根的判别式有以下应用：
①不解一元二次方程，判断根的情况。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线
（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。◎ 一元二次方程根的判别式的特性
根的判别式有以下应用：
①不解一元二次方程，判断根的情况。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。
①不解一元二次方程，判断根的情况。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线
（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。◎ 一元二次方程根的判别式的教学目标
1、能用b2－4ac的值判断一元二次方程根的情况。
2、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用。
3、在理解根的判别式的推导过程中，体会严密的思维过程。
2、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用。
3、在理解根的判别式的推导过程中，体会严密的思维过程。
◎ 一元二次方程根的判别式的考试要求
能力要求：掌握
课时要求：80
考试频率：常考
分值比重：4
课时要求：80
考试频率：常考
分值比重：4