在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且∠EAF=∠CEF=45°.
(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG(如图①),求证:△AEG≌△AEF;
(2)若直线EF与AB,AD的延长线分别交于点M,N(如图②),求证:EF2=ME2+NF2.
【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理.
【分析】(1)由旋转的性质得出AG=AF,BG=DF,∠GAF=90°,∠BAG=∠DAF,证出∠GAE═∠EAF,由SAS即可得出△AEG≌△AEF;
(2)连接GM,由正方形的性质和已知条件得出BE=DF,得出BG=DF=BE=BF,得出∠BMG=45°,因此∠EMG=90°,由勾股定理得出EG2=MG2+ME2=NF2+ME2,再由EG=EF,即可得出结论.
【解答】(1)证明:∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,
∴AG=AF,BG=DF,∠GAF=90°,∠BAG=∠DAF,
∵∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠DAF=∠BAE+∠BAG=90°﹣45°=45°,
即∠GAE=∠EAF,
∴在△AEG和△AEF中,,
∴△AEG≌△AEF(SAS);
(2)证明:连接G,如图所示:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠C=90°,
∵∠CEF=45°
∴CE=CF,DF=DN,BM=BE,
∵BC=CD,
∴BE=DF,
∵BG=DF,
∴BG=DF=BE=BF,
∴∠BMG=45°,
∵∠EMB=45°,
∴∠EMG=90°,
∴EG2=MG2+ME2=NF2+ME2,
∵△AEG≌△AEF,∴EG=EF,
∴EF2=ME2+NF2.
【点评】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识;本题综合性强,有一定难度,熟练掌握正方形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.
矩形的性质:
1.矩形的4个内角都是直角;
2.矩形的对角线相等且互相平分;
3.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等;
4.矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形(对称轴是任何一组对边中点的连线),它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
5.矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形的所有性质
6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
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