如图，在△ABC中，AC=BC=5cm，AB=6cm，CD⊥AB于点D．动点P、Q同时从点C出发，点P沿线CD做依次匀速往返运动，回到点C停止；点Q沿折线CA=AD向终点D做匀速运动；点P、Q运动的速度都是5cm/s．过点P作PE∥BC，交AB于点E，连结PQ．当点P、E不重合点P、Q不重合时，以线段PE∥BC，交AB于点E，连结PQ．当点P、E不重合且点P、Q不重合时，以线段PE、PQ为一组邻边作▱PEFQ．设点P运动的时间为t（s），▱PEFQ与△ABC重叠部分的面积为S（cm²）．

（1）用含t的代数式表示线段PE的长．

（2）当点F在线段AB上时，求t的值．

（3）当点Q在线段AB上运动时，求S与t之间的函数关系式．

（4）在整个运动过程中，当▱PEFQ为矩形时，直接写出t的值．

答案

【考点】相似形综合题．

【专题】压轴题；数形结合．

【分析】（1）根据题意，分两种情况：①当0＜t＜时；②当＜t≤时；然后根据PE∥BC，可得，据此用含t的代数式表示线段PE的长即可．

（2）首先用含t的代数式表示出QF、QA，然后根据QA=QF，求出t的值是多少即可．

（3）首先作PM⊥BC于点M，作QN⊥BC于点N，设▱PEFQ的高为h，分别用含t的代数式表示出PM、QN，进而用含t的代数式表示出h；然后根据三角形的面积的求法，求出S与t之间的函数关系式即可．

（4）当▱PEFQ为矩形时，推得∠DQP=∠BCD，然后根据tan∠DQP=tan∠BCD==，可得，据此求出t的值是多少即可．

【解答】解：（1）∵AC=BC=5cm，CD⊥AB于点D，

∴点D是AB的中点，AD=6÷2=3（cm），

∵AC=5cm，

∴CD==（cm）．

①当0＜t＜时，如图1，

∵PC=5t，

∴PD=CD﹣PC=4﹣5t，

∵PE∥BC，

∴，

∴PE==（4﹣5t）=5﹣t．

②当＜t≤时，如图2，

，

PD=5t﹣4，

∵PE∥BC，

∴，

∴PE==（5t﹣4）=t﹣5．

综上，可得

PE=．

（2）如图3，

QF=PE=t﹣5

∵CQ=5t，

∴QA=AC﹣CQ=5﹣5t，

∵PE∥BC，PE∥QF，

∴QF∥BC，

∴，

∵AC=BC，

∴QA=QF，

∴5﹣5t=t﹣5，

解得t=．

（3）如图4，作PM⊥BC于点M，作QN⊥BC于点N，

设▱PEFQ的高为h，

∵sin∠PCM=，

∴PM=PC•sin∠PCM=（8﹣5t）×=﹣3t，

∵sin∠QBN==，

∴QN=BQ•sin∠QBN=[6﹣（5t﹣5）]×=﹣4t，

∴h=QN﹣PM=（﹣4t）﹣（﹣3t）=4﹣t，

∴S==（t﹣5）×（4﹣t）=﹣t²+15t﹣10．

（4）如图5，当▱PEFQ为矩形时，

PD=5t﹣4，QD=8﹣5t，

∵▱PEFQ为矩形，

∴∠DQP+∠DEP=90°，

∵∠B+BCD=90°，∠DEP=∠B，

∴∠DQP=∠BCD，

∴tan∠DQP=tan∠BCD==，

∴，

解得t=．

【点评】（1）此题主要考查了相似形综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．

（2）此题还考查了函数关系式的求法、矩形的性质和应用、三角函数的应用、三角形的面积的求法，要熟练掌握．