初中数学6.垂直教案

四川郫县  李志勇  何庆明

　　教材分析

　　《垂线》选自义务教育课程标准实验教科书《数学》（华东师大版）七年级上册第四章相交线。垂线是平面几何所要研究的基本内容之一，是七年级上册第四章“图形的初步认识”的主要内容。垂线的概念、画法和性质是重要的基础知识，是进一步学习空间里的垂直关系、三角形的高、切线的性质和判定以及平面直角坐标系等知识的基础，与其他数学知识一样，它在现实生活中有着广泛的应用。垂线的概念和性质，蕴含着“从一般到特殊”的认识规律，是培养学生思维能力的重要内容之一。它作为学习几何的基础内容，对以后学生利用准确合理的构造画出垂线来分析几何关系、解决几何综合问题及相关实际问题具有重要意义。

　　实验教材将本节内容分两课时，与九年义务教育教材相比，虽然缩短了一课时，但更注重对学生实际操作能力的培养，更注重渗透变换的思想。“做一做”这种探究性活动，为培养学生的参与意识和创新意识提供了机会。垂线的画法是学生学习本节内容的一个难点。结合学生所学的知识及生活实际，有效地引导学生认知和感受知识的发生发展过程；精心设计投影片和变式训练，并恰到好处地利用运动变化，体现画垂线的思维过程，在掌握垂线概念的基础上，使学生顺利自然地突破画垂线的难点。

　　学生分析

　　我校属农村城镇中学，学生全部享受九年义务教育，实行电脑随机分班，未进行筛选。学生智力水平参差不齐，基础和发展均不平衡。经过一学期的实践，学生基本上适应了以学习小组方式参与探究活动与班级学习方式相结合的学习方法，不同程度地享受到了数学知识来源于实践操作的成功体验，从而愿意在教师的指导下主动与同学探索、发现、归纳数学知识。

　　设计理念

　　针对教材内容和学生实际，组织学生实践、感悟出两直线互相垂直的概念，引导学生分析解决问题，使学生在自己动手的基础上，发现垂线的性质，又借助于教具、实物、图形、幻灯等，从直观的感性认识发现抽象的概念，使学生成为探求知识的主体。同时利用问题探究式的方法让学生对新课加以巩固理解。在探究垂线的性质时，采取小组学习形式，可增强学生之间的合作互助，弥补教师在大班额教学中对弱势学生关注的不足。初步探索在农村中学中如何进行研究性学习。

　　教学自标

　　1．了解两条直线互相垂直的概念；知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。

　　2．培养提高观察、理解能力，几何语言能力，画图能力，抽象思维能力和运用知识解决实际问题的能力。

　　3．培养辩证唯物主义思想及不断发现、探索新知识的精神。

　　4．通过创设情境，利用变式训练和多种教学手段来激发学生学习兴趣，给学生创造成功的机会，使他们爱学、会学、学会，营造学生可持续发展的氛围。

　　教学重点：两直线互相垂直的有关性质。

　　教学难点：过直线上（外）一点作已知直线的垂线。

　　【学习目标是从基础知识教学、基本技能训练、数学能力培养和德育目标四个方面，依据《数学课程标准》关于“垂线”的具体教学要成和各种教学原则，以及本节的教材内容与学生的实际确定的。】

　　课前准备

　　课前准备教具：多媒体、投影仪、自制的可旋转的两根木条等。

　　生活经验准备：旗杆与旗台边线线的垂直关系；红十字会标志。

　　以往知识准备：两条直线相交，产生两对对顶角，且对顶角相等。

　　教学流程

　　一、创设问题情境。

　　师：这是两幅草坪的图案。在绿色的草坪上，画着两条交叉的道路。你觉得甲图、乙图哪一幅更漂亮、更匀称？这是什么原因？（教师用多媒体或投影仪展示。）

　　（学生众说纷纭，教师应给予充分的肯定。）

　　师：图甲是两条直线相交的一种特殊情况，它在生活、生产实际中应用比较广。请你再举一些类似的例子。

　　生：……

　　师：让我们共同探索图甲这种特殊情况。

　　【借助于教具、模型、实物、图形及幻灯等教学手段，使学生先得到直观的感性认识，培养学生从感性到理性的认知方式。】

　　二、回顾再现。

　　对顶角相等两条直线相交只有一个交点。如图1，直线AB和CD相交，交点为点O，有四个小于平角的角，且。

　　图1

　　三、提高。

　　教师演示自制教具，要求学生观察当一根木条绕着另一根木条旋转时的变化情况，并用数学语言进行描述。

　　【教师应鼓励学生大胆描述自己的观察结果，并及时予以肯定。】

　　师：两直线相交，有两组分别相等的角，当一个角等于90°时，其他三个角有什么变化？可能产生四个相等的角吗？如图2，同时演示教具，将直线CD绕着点O旋转，当时，是多少度？

　　图2

　　生：……

　　师：你们的依据是什么？

　　生：……

　　（学生的答案很丰富：用度量的方法；利用对顶角相等；互补的概念……学生回答过程中，只要有道理就应予以鼓励。）

　　【这里希望在感性认识的基础上进行抽象概念的教学，培养学生的抽象思维能力。】

　　四、提升。

　　教师引导学生归纳出：两条直线互相垂直，两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，称这两条直线互相垂直。

　　师：（1）如图2，直线AB和CD相交，交点为O，，记为，垂足为点O。“”读作“AB垂直于CD”或“CD垂直于AB”。

　　（2）两条直线，垂足为点O，则。

　　【实现数学的三大语言??文字语言、符号语言和几何语言之间的切换，并板书，以突出其重要性。】

　　五、再探究。

　　师：请同学们举一些日常生活中互相垂直的直线的例子；

　　生：……

　　【希望实现将数学知识在实际生活中的运用，并为后继学习数学知识增加感性认知。】

　　师：请同学们用三角尺或量角器：

　　（1）经过直线AB外一点P，画直线与已知直线AB垂直，且讨论这样的直线有几条。

　　（2）设这一点在直线AB上，重作上述过程。

　　【学生分组或独立探索，教师巡视指导。】

  　　　　　　

图3　　　　　　　图4

　　教师引导学生归纳结论：在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。

　　【通过学生动手操作画图，教师在巡视中及时指出、纠正学生发生的错误，训练学生以严谨的科学态度研究问题、解决问题。】

　　师：请同学们互相交流且简单描述一下，上述结论用三角尺的作法过程和“有且只有”的含义。

　　（学生讨论交流，教师巡视）

　　教师引导归纳出：

　　（1）靠已知直线??找待过定点??画已知直线的垂线（一靠、二过、三垂直）。

　　（2）有一条并且只有一条，没有第二条。

　　师：如图5，请同学们相互比试，谁能更快地过直线CD上一点P作直线AB的垂线。并在小组间进行交流。

图5

　　【探究性活动是《数学课程标准》的一个重要举措，并为培养学生的创新意识提供了一些机会。“做一做”进行小组交流，一方面是为了加强对学生动手操作能力的培养，同时也培养了学生的合作意识和竞争意识，使学生更深入理解垂直、垂线的概念。】

　　六、学生探索。

　　学生分小组测量，讨论，归纳。如图6所示，点A与直线DC上各点的距离长短一样吗？谁最短？它具备什么条件？（抽小组代表发言。）

图6

　　七、总结归纳。

　　教师总结归纳：只有线段AB最短，且当AB与DC垂直时，才最短。

　　教师引导学生得出线段AB特征：A为直线外一点，B为过A向直线DC所引的垂线的垂足，

　　提高：线段AB的长度就是点A到直线DC的距离。

　　思考：点A到直线DC的距离与点A到点C的距离有什么区别？

　　点A到直线DC的距离：线段AB的长度，A为直线外一点，B为过A向直线DC所引的垂线的垂足；点A到点C的距离：两点之间线段的长度。

　　【从生活实际．从学生感兴趣、熟悉的问题引导学生发现里线的第二个性质，提高学生学数学的兴趣，并适当体现学数学??用数学??发现教学的思想。】

　　八、较量（练习）。

　　1．第170页第1、2、3题。

　　2．应用。

　　【带有竞争性质的练习使学生在相互竞争中，在实践中应用本节课的知识，分享获取成功的喜悦，并促进学生形成积极向上的心理品质。】

　　（1）某村庄在如图7所示的小河边，为解决村庄供水问题，需把河中的水引到村庄A处，在河岸CD的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图来，并说明道理。

图7

　　（2）教材第170页“做一做”。

　　（3）体育课上怎样测量跳远成绩。

　　【学以致用，学生做个小小设计师．兴趣盎然，把这节课引入高潮。】

　　学生重温“两条直线互相垂直的概念”和“如何过已知直线上或已知直线外的一点作惟一的垂线”两个知识点。

　　3．第174页第1、2题。

　　4．学校的位置如图8所示，请设计出学校到两条公路的最短距离的方案，并在图上标出来，并说明理由。

图8

　　课后反思

　　1．本节课主要采用了“问题探究式”的教学方法，鼓励学生去发现、分析并解决问题，使学生在自己动手的基础上，发现垂线的性质，又借助于教具、实物、图形、幻灯等，从直观的感性认识中发现抽象的概念，使他们成为探求知识的主体，同时还利用学生较量形式让他们对学习内容加以巩固理解。并设计了变式训练习题和开放性习题，来帮助学生逐步树立转化的思想和发展性思维，这对提高学生的能力是非常重要的。学生是课堂的主人，教师从引导学生设疑??感知??概括??应用的每一个环节，注意学生的积极参与、积极思维，使学生从被动的学习到主动探索和发现的转化中感受到学习与探索的乐趣，适合七年级学生的认知心理。

　　2．本节课采用不同的反馈手段和反馈练习。（1）设计变式习题、图形、开放性习题。每次较量主要解决一个重点问题，同时使教师及时了解学生对数学知识的掌握情况，及时发现问题并及时矫正，扫清后续学习的障碍。（2）较量方法。如：笔答、口答、板演、快速抢答等，以增加反馈层面。通过练习较量使大多数学生的学习情况都能及时反馈给教师，使教师心中有数。（3）及时矫正。对每次较量情况进行小组评定和教师点评，对学生中的创新解答及时给予肯定。创造了轻松、愉悦的学习环境。

　　3．但笔者根据上述设计进行教学后，认为“点到直线的距离”放在这里，值得商榷。这是因为：（1）此部分内容与小学距离过大。在小学学习中，对于“点到直线的距离”，学生仅通过一些特殊图形有了一点感性认识，并未上升到点到线的距离的高度。（2）在本节内容教学中，让学生参与实践、体验，其难度较大。其理由是：本节教学内容量大；设计了较多的动手实践活动；作为学生课后实践探索的习题，如能充分利用学生资源（如与家长、同伴），在实际生活中交流、感悟，收效会更好。

摘自海南出版社《新课标优秀教学设计与案例》