初中数学22．3实践与探索教案

实践与探索

　　教学目标：

　　1、学生在已有的一元二次方程的学习基础上，能够对生活中的实际工资问题进行数学建模解决问题，从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。

　　2、让学生积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体验发现问题、提出问题及解决问题的全过程，培养学生的数学应用能力。

　　3、学生感受数学的严谨性，形成实事求是的态度及进行质疑和激发思考的习惯；获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心。

　　重点难点：

　　1、重点：利用一元二次方程对实际问题进行数学建模，从而解决实际问题。

　　2、难点：学生分析方程的解，自主探索得到解决实际问题的最佳方案。

　　教学过程：

　　一、巩固旧知识

　　1、解方程x²−70x+825 = 0，并叙述解一元二次方程的解法。

　　2、说说你对实践问题的解决时，有何经验，有何体会？

　　二、创设问题情境

　　小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方形盒子。

　　（1）如果要求长方体的底面面积为81cm²，那么剪去的正方形边长为多少？

　　（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？

　　三、尝试解决问题

　　1、长方形的底面、正方形的边长与正方形硬纸板中的什么量有关系？

　　  （长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长有关系）

　　2、长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长存在什么关系？

　　 （长方形的底面正方形的边长等于正方形硬纸板的边长减去剪去的小正方形边长的2倍）

　　3、你能否用数量关系表示出这种关系呢？并求出剪去的小正方形的边长。

　　解：设剪去的正方形边长为xcm题意得：

　　(10−x)² = 81，10−x = ±9，所以x₁ = 1，x₂ = 9

　　因为正方形硬纸板的边长为10cm，

　　所以剪去的正方形边长为1cm。

　　4、请问长方体的高与正方形硬纸板中的什么量有关系？求出此时长方体的体积。

　　  （长方体的高与正方形硬纸板式剪去的小正方形的边长一样；体积为81×1 = 81cm³）

　　5、完成表格，与你的同伴一起交流，并讨论剪去的正方形边长发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？

　　6、在你观察到的变化中、你感到折合而成的长方体的体积会不会有最大的情况？以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体体积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点，看看与你的感觉是否一致。

　　小结：

　　1、谈谈本节的收获。

　　2、谈谈本节的体会。

　　3、谈谈本节的疑惑。

　　22.3 .2实践与探索(二)

　　教学目标：

　　1、使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题，学会将实际问题转化为数学模型。

　　2、让学生经历由实际问题转化为数学模型的过程，领悟数学建模思想，体会如何寻找实际问题中等量关系来建立一元二次方程。

　　3、通过合作交流进一步感知方程的应用价值，培养学生的创新意识和实践能力，通过交流互动，逐步培养合作的意识及严谨的治学精神。

　　重点难点：

　　1、重点：列一元二次方程解决实际问题。

　　2、难点：寻找实际问题中的相等关系。

　　教学过程：

　　一、考考你

　　1、有一个两位数，它的十位上的数学字比个位上的数字大3，这两个数位上的数字之积等于这两位数的，求这个两位数。（这个两位数是63）

　　2、如图，一个院子长10cm，宽8cm，要在它的里沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的30%，试求这花圃的宽度。（花圃的宽度为1m）

　　二、创设问题情境

　　阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？

　　三、尝试探索，合作交流，解决问题

　　1、翻一番，你是如何理解的？

　　  （翻一番，即为原净收入的2倍，若设原值为1，那么两年后的值就是2）

　　2、“平均年增长率”你是如何理解的。

　　（“平均年增长率”指的是每一年净收入增长的百分数是一个相同的值。即每年按同样的百分数增加，而增长的绝对数是不相同的）

　　3、独立思考后，小组交流，讨论。

　　4、展示成果，相互补充。

　　解：设平均年增长率应为x，依题意，得(1+x)² = 2

　　         1+x = ±

　　         x₁ =−1，x₂ = −−1

　　         x₁≈0.414，x₂≈−3.414，

　　因为增长率不能为负数，所以增长率应为41.4%

　　四、拓展应用

　　五、做一做

　　小结：

　　22.3 .1实践与探索(三)

　　教学目标：

　　1、引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其此关系的运用。

　　2、通过观察、实践、讨论等活动，经历从发现问题，发现关系的过程。

　　3、在积极参与数学活动的过程中，初步体验发现问题，总结规律的态度以及养成质疑和独立思考的习惯。

　　重点难点：

　　1、重点：启发学生，观察数字系数的一元二次方程的两个根之和，及两个根之积与原方程系数之间的关系，猜想一般性质、指导学生用求根公式加以确证。

　　2、难点：对根与系数这一性质进行应用。

　　教学过程：

　　一、提出问题

　　解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？

　　（1）x²－2x＝0；

　　（2）x²＋3x－4＝0；

　　（3）x²－5x＋6＝0

　　二、尝试探索，发现规律

　　1、完成如上表格。

　　2、猜想一元二次方程的两个解的和与积和原来的方程有什么联系？小组交流。

　　同学各抒已见后，老师总结：两个根的和等于一元二次方程的一次项系数的相反数，两个根的积等于一元二次方程的常数项。

　　3、一般地，对于关于方程x²+px+q = 0(p，q为已知常数，p²−4q≥0)，试用求根公式求出它的两个解x₁、x₂，算一算x₁＋x₂、x₁•x₂的值，你能得出什么结果？与上面发现的现象是否一致。

　　解：

　　

　　所以与上面猜想的结论一致。

　　三、知识应用

　　1、范例：

　　（1）不解方程，求方程两根的和两根的积：

　　　　①x²+3x−1 = 0　　②2x²−4x+1 = 0

　　解：①x₁+x₂ = −3，x₁•x₂ = −1

　　　　②x₁+x₂ = 2，x₁•x₂ = −

　　（2）已知方程5x²+kx−6 = 0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。

　　（3）不解方程，求一元二次方程2x²+3x−1 = 0两个根的①平方和；②倒数和。

　　（4）求一元二次方程，使它的两个根是−3，2。

　　解：所求方程是

　　      

　　       即 x²+x−= 0或6x²+5x−50 = 0

　　2、巩固练习

　　（1）下列方程两根的和与两根的积各是多少？

　　　　①x²−3x+1 = 0；②3x²−2x = 2；③2x²+3x = 0；④3x² = 1；

　　（2）已知方程3x²−19x+m = 0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。

　　（3）设x₁，x₂是方程2x²+4x−3 = 0的两个根，不解方程，求下列各式的值。

　　　　①(x₁+1)(x₂+1)；②+

　　（4）求一个一元次方程，使它的两个根分别为：

　　　　①4，−7；②1+，1−

　　（5）已知两个数的和等于−6，积等于2，求这两个数

　　小结：

　　本节通过探索得出一元二次方程的解与系数存在的关系。并能灵活地用其解决方法解决一些问题。