初中数学-九年级数学教案数学教案－一元二次方程的根与系数的关系(一)

一、教学目标

　　1．掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数；

　　2．通过根与系数的教学，进一步培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力；

　　3．通过本节课的教学，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。

　　教学重点和难点：

　　二、重点·难点·疑点及解决办法

　　1．教学重点：根与系数的关系及其推导。

　　2．教学难点：正确理解根与系数的关系。

　　3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系。

　　4．解决办法；在实数范围内运用韦达定理，必须注意这个前提条件，而应用判别式的前提条件是方程必须是一元二次方程，即二次项系数，因此，解题时，要根据题目分析题中有没有隐含条件和。

　　三、教学步骤

　　（一）教学过程

　　1．复习提问

　　（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式。

　　（2）解方程①，②。

　　观察、思考两根和、两根积与系数的关系。

　　在教师的引导和点拨下，由沉重得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？

　　2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系。

　　设是方程的两个根。

　　∴ 

　　∴
　　　　

　　   以上一名学生板书，其他学生在练习本上推导。

　　由此得出，一元二次方程的根与系数的关系。（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）

　　结论1．如果的两个根是，那么。

　　如果把方程变形为。

　　我们就可把它写成

。

　　的形式，其中。从而得出：

　　结论2．如果方程的两个根是，那么。

　　结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便。

　　练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？

　　（1）；（2）；（3）；

　　（4）；（5）；（6）

　　此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系。
3．一元二次方程根与系数关系的应用。

　　（1）验根。（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根。

　　①；②；③；

　　④；⑤。

　　验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成一般形式，（2）不要漏除二次项系数，（3）还要注意中的负号。

　　（2）已知方程一根，求另一根。

　　例：已知方程的根是2，求它的另一根及k的值。

　　解法1：设方程的另一根为，那么。

　　∴ 

　　又  ∵  。

　　答：方程的另一根是，k的值是－7。

　　此题的解法是依据一元二次方程根与系数的关系，设未知数列方程达到目的，还可以向学生展现下列方法，并且作比较。

　　方法（二）  ∵  2是方程的根，

　　∴ 

　　∴  原方程可变为

　　解此方程。

　　方法（三）∵  2是方程的根，

　　∴ 

　　答：方程的另一根是，k的值是－7。

　　学生进行比较，方法（二）不如方法（一）和（三）简单，从而认识到根与系数关系的应用价值。

　　练习：教材P32中2。

　　学习笔答、板书，评价，体会。

　　（二）总结、扩展

　　 （12）    一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。

　　2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力

　　3．一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分。

　　四、布置作业

　　教材P32中1  P33中A1。

　　五、板书设计